河北省承德市官窖中学2022年高一数学理下学期期末试卷含解析

河北省承德市官窖中学2022年高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时， f（x）=， 则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　） A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1 参考答案： A 【考点】函数的零点． 【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标． 作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案． 【解答】解：∵当x≥0时， f（x）=； 即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]； x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]； x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）； 画出x≥0时f（x）的图象， 再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示； 则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根， 最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6， ∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）， ∴f（﹣x）=（﹣x+1）， 又f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x）， ∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a， 解得x=1﹣2a， ∴所有根的和为1﹣2a． 故选：A． 　 2. 下列命题中错误的是：              （    ） A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ. 参考答案： 略 3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　） A．13 B．35 C．49 D．63 参考答案： C 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出． 【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14， 所以 故选C． 【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题． 4. 对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　） A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】分类讨论． 【分析】由题意分两种情况判断①l?α；②l?α，再由线线的位置关系的定义判断． 【解答】解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况 ①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l； ②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；  若l于α不垂直， 则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直； 若l∥α，则存在直线m⊥l． 故选C． 【点评】本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断，重点考查了感知能力． 5. 已知非零向量，满足，且与的夹角为30°，则的范围是（    ） A．    B．     C．    D． 参考答案： C 6. 若实数x，y满足，则的最大值为（     ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 参考答案： B 【分析】 先画出可行域，由z=x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，得出最优解，再代入目标函数求出最大值。 【详解】：由图可知，可行域为封闭的三角区域，由z=x-y在y轴上的截距越小，目标函数值越大，所以最优解为，所以的最大值为1，故选B。 【点睛】：1、先画出可行域，高中阶段可行域是封闭图形。 2、令目标函数，解得判断目标函数最值的参考直线方程。 3.画出判断目标函数最值的参考直线方程的图像进行上下平移 4.根据参考直线方程的截距大小判断取最值的点 （1）当时截距越大目标函数值越大，截距越小目标函数值越小 （2）当时截距越大目标函数值越小，截距越小目标函数值越大 5.联立方程求点的坐标，求最值。 7. 已知，则的值为                       （     ）    A.             B.            C.             D.   参考答案： C 8. 若下列4个等式中，正确的是               （    ）        A．          B．        C．     D． 参考答案： C 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（       ） A．  B.   C.    D. 参考答案： B 10.  已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7}, B={3,4,5}, 则(uA)∪(uB)=                .   参考答案： {1,2,3,6,7} 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. _______   参考答案： 12. 已知tan（α+β）=3，tan（α+）=2，那么tanβ=　 　． 参考答案： 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】利用两角和的正切可求得tanα的值，再利用两角差的正切即可求得tanβ=tan的值． 【解答】解：∵tan（α+）=2， ∴=2， 解得tanα=； 又tan（α+β）=3，tan（α+）=2， ∴tanβ=tan= = =． 故答案为：． 【点评】本题考查两角和与差的正切函数，求得tanα=是关键，属于中档题． 13. 在△ABC中，若，则AC=                。 参考答案： 3 14. 已知非零向量满足0，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为                    ． 参考答案： 略 15. 关于 (x∈R)，有下列命题： (1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；(2)y＝f(x)的表达式可改写成； (3)y＝f(x)图象关于对称；(4)y＝f(x)图象关于对称．其中正确命题的序号为___________________ 参考答案： (2)(3) 16. 计算：________，________． 参考答案： 1    【分析】 根据指数和对数运算的运算法则直接计算可得结果. 【详解】； 本题正确结果：； 17. 如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知，将△ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述： ①AB与DE所成角的正切值为； ②AB∥CE； ③； ④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的命题序号为　　． 参考答案： ①④ 【考点】平面与平面垂直的性质． 【分析】在①中，由BC∥DE，知∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，由此能求出AB与DE所成角的正切值为；在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线；在③中，VB﹣ACE=；在④中，由AD⊥平面BCDE，知AD⊥BC，又BC⊥CD，由此推导出平面ABC⊥平面ADC． 【解答】解：∵正方形BCDE的边长为a，已知，将△ABE沿BE边折起， 折起后A点在平面BCDE上的射影为D点， ∴=，AE=，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=， 在①中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角， ∵AB=，BC=a，AC=，∴BC⊥AC， ∴tan∠ABC=，∴AB与DE所成角的正切值为，故①正确； 在②中，由翻折后的图形知AB与CE是异面直线，故②错误； 在③中， =，故③错误； 在④中，∵AD⊥平面BCDE，BC?平面ABC， ∴AD⊥BC，又BC⊥CD，AD∩CD=D， ∴BC?平面ADC，又BC?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确． 故答案为：①④． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）+f（b）”的函数的例子； （2）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）?f（b）”的函数的例子； （3）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）?f（b）”的函数的例子． 参考答案： 解：（1）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）+f（b）”的函数模型为对数函数模型， 则f（x）=log2x或f（x）=logx满足条件； （2）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）?f（b）”的函数模型为指数函数模型，则f（x）=2x或f（x）=（）x满足条件； （3）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）?f（b）”的函数模型是幂函数模型， 则f（x）=x2或f（x）=x满足条件 考点：抽象函数及其应用． 专题：转化思想；数学模型法；函数的性质及应用． 分析：根据条件分别判断抽象函数满足的函数模型进行求解即可． 解答：解：（1）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）+f（b）”的函数模型为对数函数模型， 则f（x）=log2x或f（x）=logx满足条件； （2）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）?f（b）”的函数模型为指数函数模型，则f（x）=2x或f（x）=（）x满足条件； （3）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a?b）=f（a）?f（b）”的函数模型是幂函数模型， 则f（x）=x2或f（x）=x满足条件； 点评：本题主要考查抽象函数的理解和应用，根据指数函数，对数函数，幂函数的数学模型是解决本题的关键 19. 已知集合，． 分别求， 参考答案： 20. 等差数列{}的前n项和记为Sn.已知 （Ⅰ）求通项；    （Ⅱ）若Sn=242，求n. 参考答案： 解：（Ⅰ）由得方程组       ……4分  解得  所以    （Ⅱ）由得方程        ……10分 解得 略 21. 已知f(x)是R上的奇函数，当时，． （1）求f(x)的解析式； （2）写出f(x)的单调区间．（不需证明，只需写出结果） 参考答案： 解：（1）设，则，， 因为是R上的奇函数，所以， ， 所以， ∴ （2）增区间为(－∞,－1)，(1,+∞)，减区间为(－1,1)．   22. （本小题满分12分）如图5，长方体中，为线段的中点,. (Ⅰ)证明：⊥平面； (Ⅱ)求点到平面的距离. 参考答案： (Ⅰ),， 2分 为中点，, ,. 4分 又 ⊥平面 6分 (Ⅱ)设点到的距离为, 8分 由(Ⅰ)知⊥平面， 10分    12分