河南省新乡市建勋中学高三数学理月考试卷含解析

河南省新乡市建勋中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域是                       (      ) A. B. C. D. 参考答案： C 略 2. 已知函数f（x）=﹣（a+1）x+a（a＞0），其中e为自然对数的底数．若函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域，则实数a的最大值为（　　） A．e B．2 C．1 D． 参考答案： B 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的值域，问题转化为即[1，+∞）?[，+∞），得到关于a的不等式，求出a的最大值即可． 【解答】解：f（x）=﹣（a+1）x+a（a＞0）， f′（x）=?ex+ax﹣（a+1），a＞0， 则x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减， x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增， 而x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=， 即f（x）的值域是[，+∞），恒大于0， 而f[f（x）]的值域是[，+∞）， 则要求f（x）的范围包含[1，+∞）， 即[1，+∞）?[，+∞）， 故≤1，解得：a≤2， 故a的最大值是2， 故选：B． 3. 已知四面体P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC＝, 若四面体P－ABC的体积为,则该球的体积为 A．  B． C．　　　　D． 参考答案： A 4. 已知集合，集合（是自然对数的底数），则=                                                       （    ） A． B．    C． D． 参考答案： A 略 5. 已知，则    （A）     （B）      （C）      （D） 参考答案： C 6. 若，，则“”是“”的  A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 参考答案： B 略 7. 设复数z的共轭复数为，若z=1﹣i（i为虚数单位），则的值为（　　） A．i B．﹣i C．0 D．﹣3i 参考答案： B 考点： 复数代数形式的混合运算．  专题： 计算题． 分析： 先求出 ，再利用两个复数代数形式的乘法法则和虚数单位i的幂运算性质计算 值． 解答： 解：∵复数z=1﹣i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，∴=1+i， ==i﹣2i=﹣i 故选B． 点评： 本题考查两个复数代数形式的乘法，复数的共轭复数的概念，虚数单位i的幂运算性质．计算 值是解题的关键． 8. 已知COS()-sin= ，则sin(-)的值是(    ) A. -         B．       C．-          D． 参考答案： D 9. 若函数有两个极值点,且,则关于的方程的不同实根个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： A 略 10. 等差数列满足:,则=（    ）        A．          B．0         C．1       D．2 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ____________. 参考答案： 12. 从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为　　．（用数学表达式表示） 参考答案： n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 【考点】类比推理． 【分析】从具体到一般，观察按一定的规律推广． 【解答】解：从具体到一般，按照一定的规律，可得如下结论：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 13. 已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=　　． 参考答案： 512 【考点】二项式定理的应用． 【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和，令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和． 【解答】解：已知，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|，即（1+x）9展开式的各项系数和， 令x=1，可得（1+x）9展开式的各项系数和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=29=512， 故答案为：512． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题． 14. 若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （0，3） 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围． 【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3 ∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点， ∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0 ∴0＜a＜3． ∴a的取值范围是（0，3）． 故答案为：（0，3）． 15. 若函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为m，则m的值是     ． 参考答案： 或 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可． 【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递增， 则f（x）的最大值为f（1）=a=4， 最小值m=f（﹣2）=a﹣2=4﹣2=； ②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣2，1]上单调递减， 则f（x）的最大值为f（﹣2）=a﹣2=4，解得a=， 此时最小值m=f（1）=a=， 故答案为：或． 【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减． 16. 设P为曲线C：y=x2﹣x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[﹣1，3]，则点P纵坐标的取值范围是　　． 参考答案： [，3] 略 17. 在1, 2, 3, 4, 5这5个自然数中, 任取2个数, 它们的积是偶数的概率是            参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某银行柜台有从左到右编号依次为1，2，3，4，5，6的六个服务窗口，其中1，2，3，4，5号服务窗口办理A类业务，6号服务窗口办理B类业务． （1）每天12：00至14：00，由于需要办理A类业务的顾客较少，现从1，2，3，4，5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务，求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率；   （2）经统计，在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 4人及4人以上 概　率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04    求至少2人排队等侯的概率． 参考答案： （1）由题意，有如下基本事件（ (i，j)表示第i，j号窗口暂停服务）： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)， (2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，    因此，共有10个基本事件． 记事件A“1号窗口或2号窗口暂停服务”，事件A包括： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (2，3)，(2，4)，(2，5)， 因此，共有7个基本事件，故P(A)＝． 答：暂停服务的三个窗口恰有两个连在一起的概率为． （2）记事件“6号窗口办理B类业务的等候人数为k”记为Bk，（k∈N）， 则事件Bk两两互斥． 记事件“至少2人排队等侯”为B，则事件 “排队等侯人数为0或1”， 所以P()＝P(B0)＋P(B1) ＝0.1＋0.16＝0.26， 所以P(B)＝1－P()＝1－0.26＝0.74． 答：至少2人排队等侯的概率为0.74． 【说明】考查古典概型及互斥事件发生的概率． 19. 已知椭圆T： +=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点． （1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点； （2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值； （3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB面积的最大值． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点； （2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值； （3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值． 【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0）， 由|PC|==2，解得：m=±1， ∴P点坐标为（±1，0）， ∴P必为Γ的焦点； （2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣）， |PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2， 有函数的对称轴x0=4m＞0， 则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0， 解得：m=1或m=﹣5（舍去）， ∴m的值1； （3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣， 则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0， 则y1+y2=，y1y2=﹣， 丨AB丨=?=， 则O到直线AB的距离d=， 则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××= =≤=， 当且仅当=，即k2=，取等号， ∴△AOB面积的最大值． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题． 20. 在直角坐标系xOy中，直线的方程为，半圆C的参数方程为（是参数，）. 以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）分别写出直线与半圆C的极坐标方程； （Ⅱ）若直线，直线与半圆C的交点为A，直线与的交点为B，求. 参考答案： （Ⅰ）直线的极坐标方程为，………………………………2分 曲线的普通方程为，又， 所以曲线的极坐标方程为…………………………5分 （Ⅱ）设，则有，解得………………7分 设，则有，解得……………9分 所以……………………………………………………………10分 21. （本小题满分12分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）． （1）求的通项公式； （2）设，若数列为等比数列，求的值； （3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）当时，，得．   当时，由，即，① 得，，② ①②，得，即， 是等比数列，且公比是，．            （2）由（1）知，，即， 若数列为等比数列，则有， 而， 故，解得，     再将代入，得，               由，知为等比数列，．