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湖南省湘潭市湘钢第二子弟中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{an}满足,若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 若将展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为( )
A.11 B.33 C.55 D.66
参考答案:
D
略
3. 命题“存在R,0”的否定是 ( )
(A)不存在R, >0 (B)存在R, 0
(C)对任意的R, 0 (D)对任意的R, >0
参考答案:
D
4. 用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答.
【解答】解:由平行线的传递性可以判断①正确;
在空间,垂直于同一条直线的两条直线,可能平行、相交或者异面.故②错误;
平行于同一个平面的两条直线的位置关系有:平行、相交、异面.故③错误;
垂直于同一个平面的两条直线是平行的;故④正确;
故选:C.
【点评】本题考查了线线关系,线面关系的判断;关键是熟练运用相关的公里或者定理.
5. .函数在区间上的最大值为( )
A.11 B.8 C. D.
参考答案:
A
6. 给出下列命题:
①若“或”是假命题,则“且”是真命题;
② ;
③若实系数关于的二次不等式,的解集为,则必有且;
④ .
其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
7. 集合A={y|y=x+1,x∈R},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于( )
A.(0,+∞) B.{0,1} C.{1,2} D.{(0,1),(1,2)}
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【分析】根据一次函数的值域求出A,根据指数函数的值域求出B,再利用两个集合的交集的定义求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={y|y=x+1,x∈R}=R=(﹣∞,+∞),B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0 }=(0,+∞),
故A∩B=(﹣∞,+∞)∩(0,+∞)=(0,+∞),
故选A.
8. 下列命题中错误的是( )
A.如果α⊥β,那么α内一定存在直线平行于平面β
B.如果α⊥β,那么α内所有直线都垂直于平面β
C.如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,那么l⊥γ
参考答案:
B
【考点】平面与平面垂直的性质.
【分析】如果α⊥β,则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β,进而可推断出A命题正确;α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β,故可判断出B命题错误;根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确;根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确.
【解答】解:如果α⊥β,则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β,故可推断出A命题正确.
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β,故B命题错误.
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确.
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确.
故选B
【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质.解题的关键是对平面与平面垂直的性质及判定定理熟练记忆.
9. 设函数f(x)=﹣lnx的导函数为f'(x),则f'(x)最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】导数的运算.
【分析】两次求导,根据导数的和函数的最值的关系即可求出.
【解答】解:函数f(x)=﹣lnx的导函数为f'(x)=﹣,
∴f″(x)=﹣+=,
令f″(x)=0,解得x=16,
当0<x<16时,f″(x)>0,函数f′(x)单调递增
当x>16时,f″(x)<0,函数f′(x)单调递减,
故f'(x)max=f′(16)=,
故选:A
【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系,关键是求导,属于基础题.
10. 数列前100项的和等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若,,且与的夹角为锐角,则的取值范围为______.
参考答案:
12. 椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则 ;的大小为 .
参考答案:
解析: ∵,
∴,
∴,
又,∴, (第13题解答图)
又由余弦定理,得,
∴,故应填.
13. 若直线:与直线的交点位于第一象限,则直线的斜率的取值范围为
参考答案:
略
14. 如果直线l:x+y﹣b=0与曲线有公共点,那么b的取值范围是 .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系;函数的零点.
【分析】根据同角三角函数关系,换元得到点M(cosα,sinα)是曲线C上的点,其中0≤α≤π.因此问题转化为方程cosα+sinα﹣b=0,在区间[0,α]上有解,利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质,即可算出实数b的取值范围.
【解答】解:对于曲线,设x=cosα,则y==sinα(0≤α≤π)
因此点M(cosα,sinα)是曲线C上的点,其中0≤α≤π
∵线l:x+y﹣b=0与曲线C有公共点
∴方程cosα+sinα﹣b=0,在区间[0,α]上有解
即b=cosα+sinα=sin()
∵∈[,],可得sin()∈[﹣,1]
∴b=sin()∈[﹣1,]
即直线l:x+y﹣b=0与曲线有公共点时,b的取值范围是[﹣1,]
故答案为:[﹣1,]
15. 已知两圆x2+y2=10和(x﹣1)2+(y﹣3)2=10相交于A,B两点,则直线AB的方程是 .
参考答案:
x+3y﹣5=0
【考点】相交弦所在直线的方程.
【分析】把两个圆的方程相减,即可求得公共弦所在的直线方程.
【解答】解:把两圆x2+y2=10和(x﹣1)2+(y﹣3)2=10的方程相减可得x+3y﹣5=0,
此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程,故必是两个圆的公共弦所在的直线方程,
故答案为:x+3y﹣5=0.
16. 如图,设D是图中边长为4的正方形区域,E是D内函数y=图象下方的点构成的阴影区域.向D中随机投一点,则该点落入中E的概率为 。
参考答案:
17. 已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0相交于A,B两点,则线段AB的长为 .
参考答案:
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】求出两圆的公共弦,圆心到直线的距离,利用勾股定理,可得结论.
【解答】解:由题意,两圆的公共弦为2x﹣y﹣3=0,
圆x2+y2=9的圆心坐标为(0,0),半径为3,
圆心到直线的距离d=,∴线段AB的长为2=.
故答案为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,为倾斜角),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且AB=,求直线l的直角坐标方程.
参考答案:
(1);
(2)或.
19. 已知数列的前n项和为,若,(是常数),且成等比数列.
(1)求的值;
(2)求.
参考答案:
(1)由,
得,
…………………………………………………………………3分
又因为成等比数列,
所以
…………………………………………………………………………5分
当时,,不符合题意舍去,经检验,符合题意.
……………………………………………………………………………………6分
(2)由(I)得,
故当时,,
……………………………………………………………8分
所以.………………………10分
又时,也符合上式
……………………………………………………………………12分
20. 如图,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线BD把折起,使A移到点,且在平面BCD的射影0恰好在CD上,(1)求证:;(2)求证:平面,(3)求三棱锥的体积。
参考答案:
略
21. 已知是正方形,⊥面,且,是侧棱的中点.
(1)求证∥平面;
(2)求证平面平面;
(3)求直线与底面所成的角的正切值.
参考答案:
解:(1)
, 又
(2)
,又
,
(3)
即直线与平面所成角
略
22. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为,求a+c的值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)由正余弦定理可得:,即;
(2)由三角形的面积公式可得:,再结合余弦定理可得,得解.
【详解】解:(1)由题得,
由正弦定理得,即,所以,
又,所以.
(2)由题得,所以,
由(1)得,
所以
【点睛】本题考查了正余弦定理及三角形的面积公式,属中档题.
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