湖南省湘潭市湘钢第二子弟中学高二数学理模拟试题含解析

湖南省湘潭市湘钢第二子弟中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列{an}满足，若，则的值为(    ) A.    B.    C.    D. 参考答案： D 2. 若将展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为（     ） A.11            B.33          C.55           D.66 参考答案： D 略 3. 命题“存在R，0”的否定是        （   ） （A）不存在R, >0      （B）存在R, 0  （C）对任意的R, 0     （D）对任意的R, >0 参考答案： D 4. 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；    ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；  ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】利用线线关系以及线面平行、线面垂直的性质对四个命题分析解答． 【解答】解：由平行线的传递性可以判断①正确； 在空间，垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面．故②错误； 平行于同一个平面的两条直线的位置关系有：平行、相交、异面．故③错误； 垂直于同一个平面的两条直线是平行的；故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了线线关系，线面关系的判断；关键是熟练运用相关的公里或者定理． 5. .函数在区间上的最大值为（     ） A．11         B．8       C．         D． 参考答案： A 6. 给出下列命题： ①若“或”是假命题，则“且”是真命题； ② ； ③若实系数关于的二次不等式，的解集为，则必有且； ④ . 其中真命题的个数是                                                                                 （　　） A．1                     B．2                     C．3                     D．4   参考答案： B 7. 集合A={y|y=x+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（　　） A．（0，+∞） B．{0，1} C．{1，2} D．{（0，1），（1，2）} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】根据一次函数的值域求出A，根据指数函数的值域求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={y|y=x+1，x∈R}=R=（﹣∞，+∞），B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0 }=（0，+∞）， 故A∩B=（﹣∞，+∞）∩（0，+∞）=（0，+∞）， 故选A． 8. 下列命题中错误的是（　　） A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β B．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β C．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ 参考答案： B 【考点】平面与平面垂直的性质． 【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确． 【解答】解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确． B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误． C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确． D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确． 故选B 【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质．解题的关键是对平面与平面垂直的性质及判定定理熟练记忆． 9. 设函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x），则f'（x）最大值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】导数的运算． 【分析】两次求导，根据导数的和函数的最值的关系即可求出． 【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x）=﹣， ∴f″（x）=﹣+=， 令f″（x）=0，解得x=16， 当0＜x＜16时，f″（x）＞0，函数f′（x）单调递增 当x＞16时，f″（x）＜0，函数f′（x）单调递减， 故f'（x）max=f′（16）=， 故选：A 【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是求导，属于基础题． 10. 数列前100项的和等于   （    ） A．    B．   C．     D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为______. 参考答案： 12. 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则        ；的大小为        . 参考答案： 解析： ∵， ∴， ∴， 又，∴，   （第13题解答图） 又由余弦定理，得， ∴，故应填. 13. 若直线:与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围为            参考答案： 略 14. 如果直线l：x+y﹣b=0与曲线有公共点，那么b的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系；函数的零点． 【分析】根据同角三角函数关系，换元得到点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π．因此问题转化为方程cosα+sinα﹣b=0，在区间[0，α]上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质，即可算出实数b的取值范围． 【解答】解：对于曲线，设x=cosα，则y==sinα（0≤α≤π） 因此点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π ∵线l：x+y﹣b=0与曲线C有公共点 ∴方程cosα+sinα﹣b=0，在区间[0，α]上有解 即b=cosα+sinα=sin（） ∵∈[，]，可得sin（）∈[﹣，1] ∴b=sin（）∈[﹣1，] 即直线l：x+y﹣b=0与曲线有公共点时，b的取值范围是[﹣1，] 故答案为：[﹣1，] 15. 已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是　． 参考答案： x+3y﹣5=0   【考点】相交弦所在直线的方程． 【分析】把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程． 【解答】解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y﹣5=0， 此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程， 故答案为：x+3y﹣5=0． 　 16. 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=图象下方的点构成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入中E的概率为          。 参考答案： 17. 已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0相交于A，B两点，则线段AB的长为　　． 参考答案： 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【分析】求出两圆的公共弦，圆心到直线的距离，利用勾股定理，可得结论． 【解答】解：由题意，两圆的公共弦为2x﹣y﹣3=0， 圆x2+y2=9的圆心坐标为（0，0），半径为3， 圆心到直线的距离d=，∴线段AB的长为2=． 故答案为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB＝，求直线l的直角坐标方程． 参考答案： （1）； （2）或． 19. 已知数列的前n项和为，若，（是常数），且成等比数列． （1）求的值； （2）求． 参考答案： （1）由， 得， …………………………………………………………………3分 又因为成等比数列， 所以 …………………………………………………………………………5分 当时，，不符合题意舍去，经检验，符合题意． ……………………………………………………………………………………6分 （2）由（I）得， 故当时，， ……………………………………………………………8分 所以．………………………10分 又时，也符合上式    ……………………………………………………………………12分 20. 如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把折起，使A移到点，且在平面BCD的射影0恰好在CD上，（1）求证：；（2）求证：平面，（3）求三棱锥的体积。 参考答案： 略 21. 已知是正方形，⊥面,且，是侧棱的中点. （1）求证∥平面； （2）求证平面平面； （3）求直线与底面所成的角的正切值. 参考答案： 解：（１） ， 又 （２） ，又 ， （３） 即直线与平面所成角   略 22. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，. （1）求角B的大小； （2）若△ABC的面积为，求a+c的值. 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）由正余弦定理可得：，即； （2）由三角形的面积公式可得：，再结合余弦定理可得，得解. 【详解】解：（1）由题得， 由正弦定理得，即，所以， 又，所以. （2）由题得，所以， 由（1）得， 所以 【点睛】本题考查了正余弦定理及三角形的面积公式，属中档题.