2022-2023学年山西省长治市柏子中学高一数学文期末试题含解析

2022-2023学年山西省长治市柏子中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】GI：三角函数的化简求值． 【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果． 【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣， 故选：A． 2. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（     ）   A6                      B 8                       C12                    D 18 参考答案： C 3. 已知满足：，则（　　） A． B． C．3 D．2 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】利用（a+b）2=2（a2+b2）﹣（a﹣b）2，从而代入化简即可． 【解答】解：∵， ∴2=2（2+2）﹣2 =2（4+1）﹣6=4， ∴=2， 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用及平面向量数量积的应用． 4. 已知是三角形的一个内角且，则此三角形是（    ） A．锐角三角形     B．直角三角形    C．钝角三角形     D．等腰三角形 参考答案： C 略 5. 已知数列{an}中，，，则的值为 A．48               B．49          C．50                 D．51 参考答案： D 6. 已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|(x－2)(x－4)<0}，则A∩B＝(　　) A．{x|x<2}                         B．{x|3≤x<4} C．{x|3≤x≤4}                     D．{x|x>4} 参考答案： B 7. 的定义域为（   ） A. B.    C.    D. 参考答案： C 8. 已知（x,y）在映射f下的象是（x+2y 2x-y），那么（3，1）在f下的原象为（   ） A、（-3，-4）   B、（-4，-6）    C、（1，1）     D、（1，-1） 参考答案： B 略 9. 设定义在[-1，7]上的函数的图象如图（1）示，则关于函数的单调区间表述正确的是                    A.在[-1,1]上单调递减    B.在单调递减，在上单调递增； C.在[5,7]上单调递减     D.在[3, 5]上单调递增 参考答案： B 略 10. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（      ） A．4　　　   　B. 3       C． 2                D. 1 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，（符号表示不超过的最大整数），若方程有6个不同的实数解，则的取值范围是          ． 参考答案： 12. （3分）若x∈R，n∈N*，规定：=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如：=（﹣4）?（﹣3）?（﹣2）?（﹣1）=24，则f（x）=x?的奇偶性为（） A． 是奇函数不是偶函数 B． 是偶函数不是奇函数 C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既不是奇函数又不是偶函数 参考答案： B 考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 新定义． 分析： 根据定义先求出函数f（x）=x?的表达式，然后利用函数奇偶性的定义进行判断． 解答： 由定义可知，f（x）=x?=x（x﹣2）（x﹣1）（x）（x+1）（x+2）=x2（x2﹣1）（x2﹣4） 因为f（﹣x）=x2（x2﹣1）（x2﹣4）=f（x）， 所以函数f（x）是偶函数不是奇函数． 故选B． 点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断，利用新定理求出函数f（x）的表达式，是解决本题的关键． 13. 若，则=             ; 参考答案： 略 14. 已知数列的通项公式为，是其前项之和，则使数列的前项和最大的正整数的值为    ▲     参考答案： 10 15. 关于函数，有下面四个结论： （1）是奇函数；    （2）恒成立； （3）的最大值是； (4) 的最小值是. 其中正确结论的是_____________________________________． 参考答案： （2）（4） 16. 袋里装有5个球，每个球都记有1～5中的一个号码，设号码为x的球质量为(x2－5x＋30)克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是___   ． 参考答案： １／５ 略 17. 已知函数f（x）=，则不等式f（f（x））≤3的解集为　　． 参考答案： （﹣∞，] 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】函数f（x）=，是一个分段函数，故可以将不等式f（f（x））≤3分类讨论，分x≥0，﹣2＜x＜0，x≤﹣2三种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案． 【解答】解：当x≥0时，f（f（x））=f（﹣x2）=（﹣x2）2﹣2x2≤3，即（x2﹣3）（x2+1）≤0，解得0≤x≤， 当﹣2＜x＜0时，f（f（x））=f（x2+2x）=（x2+2x）2+2（x2+2x）≤3，即（x2+2x﹣1）（x2+2x+3）≤0，解得﹣2＜x＜0， 当x≤﹣2时，f（f（x））=f（x2+2x）=﹣（x2+2x）2≤3，解得x≤﹣2， 综上所述不等式的解集为（﹣∞，] 故答案为：（﹣∞，] 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量，且， （1）若=，求A； （2）若△ABC的外接圆半径为1，且试确定x的取值范围. 参考答案： （1）或；（2） 【分析】 由已知条件，即可求得； （1）利用两角的关系，结合辅助角公式即可求得； （2）将目标式转化为的混合式，令，利用其与之间的关系，求得函数的值域，即可求得结果. 【详解】因为且， 所以，由正弦定理，得， 即. 又，故，因为， 所以即. (1)= ， 得，. (2)若则，由正弦定理，得 设=，则， 所以 即， 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及之间的关系以及换元法，属综合中档题. 19. （本小题满分14分） 某种产品的广告费用支出万元与销售额万元之间有如下的对应数据： （1）画出散点图； （2）求回归直线方程； （3）据此估计广告费用为12万元时，销售收入的值． 参考答案： 解：（1）作出散点图如下图所示：                            （2）求回归直线方程． ，，        ， ，                  ，                                                 ， ．                       因此回归直线方程为；             （3）时，预报的值为万元．    略 20. （本题满分12分）已知在等边中，点为线段上一点，且 . （Ⅰ）若等边三角形边长为，且，求； （Ⅱ）若，求实数的取值范围. 参考答案： 解:（Ⅰ）当时，， ， ∴. （Ⅱ）设等边三角形的边长为，则 ， . 即. 又，. 略 21.   参考答案： 解析：设扇形的半径为r，弧长为，则有        ∴ 扇形的面积 22. 在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=． （1）求四棱锥S﹣ABCD的体积； （2）求直线AB与直线SD所成角的大小． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题． 【分析】（1）直接利用高是SA，代入体积公式即可求四棱锥S﹣ABCD的体积； （2）先根据BC∥AD，AB⊥BC?AB⊥AD；再结合SA⊥面ABCD?SA⊥AB可得AB⊥面ASD即可找到结论． 【解答】解：（1）因为VS﹣ABCD=Sh=×（AD+BC）?AB?SA=． 故四棱锥S﹣ABCD的体积为． （2）∵BC∥AD，AB⊥BC?AB⊥AD，① 又因为：SA⊥面ABCD?SA⊥AB    ② 由①②得  AB⊥面ASD?AB⊥SD 故直线AB与直线SD所成角为90°． 【点评】本题主要考查体积计算以及线线所成的角．解决第二问的关键在于得到AB⊥面ASD这一结论．