2022-2023学年广东省梅州市华东中学高一数学理联考试题含解析

2022-2023学年广东省梅州市华东中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如右图所示是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图．其中真命题的个数是(　　) A．0              B．1               C．2            D．3     参考答案： D 2. 的定义域是                          （     ） A．      B．   C．   D． 参考答案： A 3. 要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象， 故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象向左至少平移个单位即可， 故选：B． 4. （5分）设m，n为两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论成立的是（） A． m∥n且m∥α，则n∥α B． m⊥n且m⊥α，则n∥α C． m⊥n且m∥α，则n⊥α D． m∥n且m⊥α，则n⊥α 参考答案： D 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 题目中给出的四个选项是对空间中两条直线及一个平面位置关系的判定，说明一个命题不正确，结合实物图形举出反例即可，选项A、B、C均可举出反例，选项D直接利用线面垂直的性质判定． 解答： 选项A不正确，由m∥n，且m∥α可得到n∥α或n?α； 选项B不正确，由m⊥n，且m⊥α可得到n∥α或n?α； 选项C不正确，由m⊥n，且m∥α可得到n∥α或n?α或n与α相交； 选项D考查线面垂直的性质定理，即两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 故选D． 点评： 本题考查了空间中直线与直线的位置关系，考查了直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，练习了举反例排除的方法，此题属中档题． 5. （5分）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（） A． x﹣2y+7=0 B． 2x+y﹣1=0 C． x﹣2y﹣5=0 D． 2x+y﹣5=0 参考答案： A 考点： 直线的一般式方程；两条直线平行的判定． 专题： 计算题． 分析： 由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程 解答： 由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 ∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选A． 点评： 本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0． 6. 已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率是                                              (    ) A．4      B．          C．－4          D．－14 参考答案： A 7. 无理数a=30.2，b=（）3，c=log20.2，试比较a、b、c的大小（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 参考答案： A 【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用指数函数与对数函数的运算性质分别比较三个数与0和1的大小得答案． 【解答】解：∵a=30.2＞30=1， 0＜b=（）3＜， c=log20.2＜0， ∴a＞b＞c． 故选：A． 8. （5分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（） A． π B． π C． D． π 参考答案： C 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论． 解答： 解：把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象对应的函数的解析式为 y=cos（x﹣φ+）， 由于所得图象正好关于y轴对称，则﹣φ+=kπ，k∈z，即φ=﹣kπ，故φ的最小值为， 故选：C． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 9. 下列四个函数中，在(0，+∞)上为增函数的是 A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=－|x| 参考答案： C 10. 已知等差数列{an}，若，则{an}的前7项的和是（   ） A. 112 B. 51 C. 28 D. 18 参考答案： C 由等差数列的通项公式结合题意有：， 求解关于首项、公差的方程组可得：， 则数列的前7项和为：. 本题选择C选项. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________． 参考答案： 【分析】 根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果. 【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为，高为 则球的半径:     正四棱柱的侧面积： 球的表面积： 当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用. 12. 已知向量与的夹角为，且，，则        ． 参考答案： 13. 参考答案： 25 14. 设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是_______________. 参考答案： {} 略 15. 如图，程序执行后输出的结果为         ． 参考答案： 略 16. 若120°角的终边经过点，则实数a的值为_______. 参考答案： . 【分析】 利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值. 【详解】由诱导公式得， 另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为：. 【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 17. 若a，b，c∈R，且满足，则a的取值范围是　　． 参考答案： [1，5] 考点： 函数与方程的综合运用． 专题： 应用题． 分析： 根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于a的不等式，解之，即可得到a的取值范围． 解答： 解：∵a2﹣bc﹣2a+10=0， ∴bc=a2﹣2a+10 ∵b2+bc+c2﹣12a﹣15=0． ∴b2+bc+c2=12a+15． ∵b2+bc+c2≥bc+2bc=3bc ∴12a+15≥3（a2﹣2a+10） ∴a2﹣6a+5≤0 ∴1≤a≤5 ∴a的取值范围是[1，5] 故答案为：[1，5] 点评： 本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，利用基本不等式，将问题转化为关于a的不等式是解题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）判断函数f(x)的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明； （3）已知函数，当时，的取值范围是[5,+∞)，求实数t取值范围.(只需写出答案) 参考答案： （1）函数为奇函数；（2）函数在（0，1]上为减函数，在（1，2]上为增函数，证明见解析；（3）[0，1]. 【分析】 （1）先求函数的定义域，然后根据定义判断出的奇偶性； （2）利用定义法证明在上的单调性即可； （3）作出的图象，根据图象分析的取值范围. 【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称且， 所以是奇函数； （2）单调递减， 证明：任取且， 所以， 因为，所以，，所以，所以， 所以在上单调递减； （3）， 作出图象如图所示： 可知当值域为时，. 【点睛】（1）判断函数的奇偶性时，第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则一定是非奇非偶函数，若对称则再判断与的关系由此得到函数奇偶性； （2）用定义法判断函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判符号、给出结论. 19. 已知函数f（x）=， （1）画出函数f（x）的图象； （2）求f（f（3））的值； （3）求f（a2+1）（a∈R）的最小值． 参考答案： 【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义． 【分析】（1）分段作图； （2）求出f（3）的值，判断范围，进行二次迭代； （3）求出a2+1的范围，根据图象得出结论． 【解答】解：（1）作出函数图象如右图所示， （2）∵f（3）=log23，∴0＜f（3）＜2， ∴f（f（3））=f（log23）=2==． （3）由函数图象可知f（x）在[1，2]上是减函数，在（2，+∞）上是增函数， ∵a2+1≥1， ∴当a2+1=2时，f（a2+1）取得最小值f（2）=1． 【点评】本题考查了分段函数作图，函数求值及单调性，结合函数图象可快速得出结论． 20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD （Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC （Ⅱ）设AP=1，AD=，∠CBA=60°，求A到平面PBC的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC． （Ⅱ）由VA﹣PBC=VP﹣ABC，能求出A到平面PBC的距离． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA， ∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC， ∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC． 解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=，∠CBA=60°， ∴AC=，， ∵PC=PB=， ∴=， 设A到平面PBC的距离为h， ∵VA﹣PBC=VP﹣ABC， ∴， 解得h=． ∴A到平面PBC的距离为． 21. 化简 （Ⅰ）tan20°+tan40°+ tan20°tan40° （Ⅱ）sin50°(1+tan10°) 参考答案： （Ⅰ）因为所以 （Ⅱ）      22. （本题满分10分）．计算： 参考答案： 原式=…………4分  = …………2分 =…………4分