河南省郑州市第二十一中学高二数学理上学期期末试卷含解析

河南省郑州市第二十一中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 两平行直线和之间的距离是（   ） A. 4 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先将化为，再由两平行线间的距离公式，即可得出结果. 【详解】因为可化为， 所以两平行直线和之间的距离 . 故选D 【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记公式即可，属于常考题型. 2. 已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+1=0，那么圆心坐标为(     ) A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（1，3） D．（﹣1，3） 参考答案： C 【考点】圆的一般方程． 【专题】计算题；直线与圆． 【分析】将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标． 【解答】解：将圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0化成标准方程，得（x﹣1）2+（y﹣3）2=9， ∴圆表示以C（1，3）为圆心，半径r=3的圆． 故选：C． 【点评】本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标．着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题． 3. 设,则下列不等式中一定成立的是           ( ) A．     B．     C．     D． 参考答案： B 略 4. 在曲线y=x3上切线的斜率为3的点是(     ) A．（0，0） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）或（﹣1，﹣1） 参考答案： D 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可． 解答： 解：曲线y=x3，可得y′=3x2，曲线y=x3上切线的斜率为3，可得3x2=3，解得x=±1， 切点坐标为：（1，1）或（﹣1，﹣1）． 故选：D． 点评：本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，考查计算能力． 5. 若，则（ ） A. << B. << C. << D. << 参考答案： C 根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小． 解：因a=lnx在（0，+∞）上单调递增， 故当x∈（e-1，1）时，a∈（-1，0）， 于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a． 又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c． 综上所述，b＜a＜c． 故选C 6. 高二（2）班男生36人，女生18 人，现用分层抽样方法从中抽出人，若抽出的男生人数为12，则等于（  ） A． 16        B． 18      C．20       D．22 参考答案： B 7. 在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（    ） A．     B．     C．     D． 参考答案： C 略 8. 已知奇函数当时，，则当时，的表达式是 A、        B、     C、        D、 参考答案： A 9. 祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为两个同高的几何体，p: A，B的体积不相等，q:A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（　　） （A）充分不必要条件          （B）必要不充分条件 （C）充要条件                （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 设A，B为两个同高的几何体， A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等． 如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等， 根据祖暅原理可知，p是q的充分不必要条件. 故选：A.   10. 是复数为纯虚数的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分也不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.             . 参考答案： 4 12. (2x－4)dx＝________. 参考答案： 略 13. .如图二面角内一点P到平面的距离为PC=1,到平面 的距离为PD=3,且CD=，则二面角的大小为______________ .   参考答案： 120o 略 14. 二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是         . 参考答案： 略 15. 已知函数，则的值为______. 参考答案： 2 【分析】 根据分段函数第二段可得，再利用分段函数第一段解析式可得结果. 【详解】解：因为当时，， 故， 因为当时，， 故， 故答案为. 【点睛】本题考查了分段函数求值的问题，解题的关键是根据分段函数的分界点进行分类讨论求解. 16. 设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点， 为的内心，使，则该椭圆的离心率等于      . 参考答案： 17. 已知，用数学归纳法证明时，等于          ． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 19．（本小题满分12分） 为了解某校八年级男生的身体素质状况，从该校八年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”项目测试，成绩低于6米为不合格，成绩在6米至8米（含6米不含8米）为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米）为优秀，假定该校八年级学生“掷实心球”的成绩均超过2米不超过12米．把获得的所有数据分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组，画出的频率分布直方图如图所示，已知有4名学生的成绩在10米到12米之间． （1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的总人数； （2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该校八年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率； （3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其他项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率． 参考答案： （1）∵组距为2，则由图的每组的频率分别为；0.05，, 0.15,0.3,0.4， ， （2）从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（优秀包含两组） 由古典概型：， （3）若成绩最好和最差的两组人数分别为；2, 4 。两组男生中随机抽取2 名学 ，共有15种取法。 而来自同组的由7种取法。则所抽取的2名学生来自不同组的概率为：   19. 已知函数f（x）=2cos（ωx+）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π． （1）求ω的值； （2）设α，β∈[0，]，f（5α+）=﹣，f（5β﹣）=，求cos（α+β）的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω==解出参数ω的值； （2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值． 【解答】解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π 所以ω==，即 所以 （2）因为，， 分别代入得及 ∵ ∴ ∴ 【点评】本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题． 20. △ABC中，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），且│AB│2=│AD│2+│BD│·│DC│．用解析法证明：△ABC为等腰三角形． 参考答案： 解析：作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立直角坐标系． 设，，，． 因为， 所以，由距离公式可得， 所以，为等腰三角形． 21. 已知，. （1）若函数的单调递减区间为，求函数的图象在点(－1,1)处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）；（2）．   解析：（1），由题意，知的解集是， 即方程的两根分别是．（由韦达定理有 ∴a=-1） 将或代入方程，得， ∴， ，∴， ∴的图像在点处的切线斜率， ∴函数的图像在点处的切线方程为： ，即； （2）∵恒成立， 即对一切恒成立， 整理可得对一切恒成立， 设，则， 令，得（舍）， 当时， 单调递增；当时， 单调递减， ∴当时， 取得最大值，∴． 故实数的取值范围是．   22. 以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为. （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）在曲线的极坐标方程两边同时乘以，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设、在直线l上对应的参数分别为、，将直线l的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，列出和，由可计算出的值. 【详解】（Ⅰ）在曲线的极坐标方程两边同时乘以得， 曲线的直角坐标方程为； （Ⅱ）设、在直线l上对应的参数分别为、， 将直线的参数方程代入，整理得， 则，，， . 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查直线截圆所得弦长的计算，可将直线的参数方程与圆的普通方程联立，利用的几何意义结合韦达定理求解，也可以计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算出弦长，考查运算求解能力，属于中等题.