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2022-2023学年山西省长治市小常中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)某初级中学领导采用系统抽样方法,从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号,求得间隔数k==16,即每16人抽取一个人.在1~16中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从33~48这16个数中应取的数是()
A. 40 B. 39 C. 38 D. 37
参考答案:
B
考点: 系统抽样方法.
专题: 计算题.
分析: 各组被抽到的数,应是第一组的数加上间隔的正整数倍,倍数是组数减一.
解答: 根据系统抽样的原理:
应取的数是:7+16×2=39
故选B
点评: 本题主要考查系统抽样,系统抽样要注意两点:一是分组的组数是由样本容量决定的,二是随机性是由第一组产生的数来决定的.其他组加上间隔的正整数倍即可.
2. 若,则下列不等式成立的是( )
A. - B. C. D.
参考答案:
C
3. 函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
参考答案:
A
【分析】
函数过 代入解得,再通过平移得到的图像.
【详解】,函数过
向右平移个单位得到的图象
故答案选A
【点睛】本题考查了三角函数图形,求函数表达式,函数平移,意在考查学生对于三角函数图形的理解.
4. 下面四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB//平面MNP的图形是 ( )高
A.③④; B.①②; C.②③; D.①④
参考答案:
D
5. 如右图所示,一个空间几何体的主(正)视图和左(侧)视图都是边长为的正方形,俯视图是一个直径为的圆,那么这个几何体的表面积为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 若(1),则;(2)若,则;(3)若,则;
(4) 若,则.以上命题中真命题的个数是 ()
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
参考答案:
略
7. 等比数列中,,则( )
A. B.91 C. D.
参考答案:
B
略
8. 设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.
【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),
函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.
排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;
x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.
故选:A.
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.
9. 法国学者贝特朗发现,在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦,其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中,基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解,事件A的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释:若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
由几何概型中的角度型得: ,得解.
【详解】设固定弦的一个端点为,
则另一个端点在圆周上劣弧上随机选取即可满足题意,
则(A),
故选:B.
【点睛】本题考查了几何概型中的角度型,属于基础题.
10. 已知向量、满足,,,则( )
A.3 B. C. D.9
参考答案:
A
因为,所以
所以
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 化简: +(π<α<)= .
参考答案:
﹣
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】原式被开方数分子分母都等于分母,利用同角三角函数间的基本关系及二次根式性质化简,即可得到结果.
【解答】解:∵π<α<,∴sinα<0,
则原式=+=+=
=﹣.
故答案为:﹣.
12. 已知角α的终边过点P(﹣5,12),则cosα= .
参考答案:
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】先求出角α的终边上的点P(﹣5,12)到原点的距离为 r,再利用任意角的三角函数的定义cosα= 求出结果.
【解答】解:角α的终边上的点P(﹣5,12)到原点的距离为 r=13,
由任意角的三角函数的定义得 cosα==﹣.
故答案为﹣.
13. 是定义在上的奇函数,且当,设,给出三个条件:①②,③.其中可以推出的条件共有 个.
参考答案:
3
14. 函数的单调递减区间是 。
参考答案:
略
15. 某工厂的产值连续三年增长,已知年平均增长率为p,若这三年的增长率分别为x 1,x 2,x 3,则x 1 + x 2 + x 3的最小值是 。
参考答案:
3 p
16. 已知向量,若与垂直,则 .
参考答案:
2
17. =___________;
参考答案:
-3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my﹣1=0,试确定m,n的值,使
(1)l1与l2相交于点P(m,﹣1);
(2)l1∥l2;
(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为﹣1.
参考答案:
【考点】II:直线的一般式方程与直线的平行关系;IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】(1)将点P(m,﹣1)代入两直线方程,解出m和n的值.
(2)由 l1∥l2得斜率相等,求出 m 值,再把直线可能重合的情况排除.
(3)先检验斜率不存在的情况,当斜率存在时,看斜率之积是否等于﹣1,从而得到结论.
【解答】解:(1)将点P(m,﹣1)代入两直线方程得:m2﹣8+n=0 和 2m﹣m﹣1=0,
解得 m=1,n=7.
(2)由 l1∥l2 得:m2﹣8×2=0,m=±4,
又两直线不能重合,所以有 8×(﹣1)﹣mn≠0,对应得 n≠2m,
所以当 m=4,n≠﹣2 或 m=﹣4,n≠2 时,L1∥l2.
(3)当m=0时直线l1:y=﹣和 l2:x=,此时,l1⊥l2,﹣ =﹣1?n=8.
当m≠0时此时两直线的斜率之积等于,显然 l1与l2不垂直,
所以当m=0,n=8时直线 l1 和 l2垂直,且l1在y轴上的截距为﹣1.
19. 已知集合.
(Ⅰ)若时,求A∩B;
(Ⅱ)若A∩B=?,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;转化思想;集合.
【分析】(Ⅰ)把a的值代入确定出A,求出A与B的交集即可;
(Ⅱ)分A=?与A≠?两种情况,求出a的范围即可.
【解答】解:(Ⅰ)当a=时,A={x|﹣<x<2},B={x|<x<1}
则A∩B={x|<x<1};
(Ⅱ)当a≤﹣2时,a﹣1≥2a+1,即A=?,此时A∩B=?,符合题意;
当a>﹣2时,由A∩B=?,得到a﹣1≥1或2a+1≤,
解得:a≥2或﹣2<a≤﹣,
综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣]∪[2,+∞).
【点评】此题考查了交集及其运算,以及集合的包含关系判断及应用,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
20. (22)(本小题满分12分)如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,
M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°.求证:MN⊥平面PCD.
参考答案:
证明 (1)连接AC,AN,BN,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,
在Rt△PAC中,N为PC中点,
∴AN=PC.
∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,
从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,
∴BN=PC.
∴AN=BN,
∴△ABN为等腰三角形,
又M为底边的中点,∴MN⊥AB,
又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.
∵四边形ABCD为矩形.
∴AD=BC,∴PA=BC.
又∵M为AB的中点,∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N为PC的中点,∴MN⊥PC.
由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.
略
21. 已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C所对的边,
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)若,求的值。
参考答案:
(1)由已知及正弦定理得
∴,∴;
(2)由余弦定理得,
由,
∴
22. (8分)为征求个人所得税修改建议,某机构对居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 (每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500)).
(1)求居民月收入在[3000,4000)的频率;
(2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人?
参考答案:
略
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