湖南省娄底市冷水江三尖乡中学高二数学理模拟试卷含解析

湖南省娄底市冷水江三尖乡中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f（x）=x2+2xf′（﹣1），则f′（0）等于（　　） A．4 B．0 C．﹣2 D．2 参考答案： A 【考点】导数的运算． 【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=﹣1可求2f′（﹣1）的值． 【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（﹣1）， 得：f′（x）=2x+2f′（﹣1）， 取x=﹣1得：f′（﹣1）=﹣2×1+2f′（﹣1）， 所以f′（﹣1）=2． 故f′（0）=2f′（﹣1）=4， 故选：A． 2. 已知集合，，则M∩N= (  ) A. B. (0,6) C. [0,6) D. [3,6) 参考答案： C 【分析】 先求出集合M，由此能求出M∩N． 【详解】 则 故选：C 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则（   ） A. ；    B. 8；    C. 或8；     D. 6  参考答案： B 略 4. 设x，y满足条件的最大值为12，则的最小值为                                                  A． B． C．    D．4 参考答案： D 5. 已知，则向量的夹角为（   ）    A           B           C          D  参考答案： C 6. 在复平面内,点(1,2)对应的复数为           (     ) A.          B.          C.         D. 参考答案： A 7. 已知函数的图像与轴切于点，则的极大值、极小值分别为（      ）． A． ，0     B．0，     C．  ，0     D．0， 参考答案： A 略 8. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 参考答案： D 【考点】圆的标准方程． 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径r=， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 9. 若k可以取任意实数，则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是    (         )          A.直线       B.圆              C.椭圆或双曲线       D.抛物线 参考答案： D 略 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（  ） A.沿轴向右平移个单位            B.沿轴向左平移个单位 C.沿轴向右平移个单位            D.沿轴向左平移个单位 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=　   　cm3，表面积S=　　  cm2． 参考答案： ；   【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积、表面积公式可得答案． 【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥， 所以V==cm3，S=+++=． 故答案为：；． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键． 　 12. 在等差数列{an}中，若a10=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有　　． 参考答案： 【考点】类比推理． 【分析】根据类比的方法，和类比积，加类比乘，由此类比即可得出结论． 【解答】解：在等差数列{an}中，若a10=0，有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，n∈N*）成立， ∴在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式． 故答案为：． 13. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有           （用数字回答）                 参考答案：   36   略 14. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（    ） A．(-, )    B． (,-)       C．(, -)   D．(-, ) 参考答案： A 略 15. 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则｜AB｜=       ． 参考答案： 8 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知｜AB｜=x1++x2+求得答案． 【解答】解：抛物线焦点为（1，0） 则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0 ∴x1+x2=6 根据抛物线的定义可知｜AB｜=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8 故答案为：8 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义． 16. 已知，则             ； 参考答案： 17. 已知某随机变量X的分布列如下（）： X 1 2 3 P     则随机变量X的数学期望=_______，方差=____________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知递增的等比数列{an}满足：a2?a3=8，a1+a4=9 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列，求数列{bn}的前n项的和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）利用等比数列的性质得到a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，由此求得首项和公比；根据等比数列的通项公式求得an=2n﹣1； （2）利用“错位相减法求和法”进行解答即可． 【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9， 所以a1=1，a4=8，或 a1=8，a4=1， 由{an}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2， ∴，即an=2n﹣1； （2）由（1）得， 所以 所以， 两式相减，得 ， 得． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法求和法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 设函数f（x）=x3+3ax2﹣9x+5，若f（x）在x=1处有极值． （1）求实数a的值； （2）求函数f（x）的极值． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）利用f（x）在x=1时取极值，则求出f′（x）得到f′（1）=0，解出求出a即可． （2）利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的极值即可． 【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+6ax﹣9，f（x）在x=1时取得极值， ∴f′（1）=3+6a﹣9=0 ∴a=1． （2）由（1）可得f′（x）=3x2+6x﹣9=3（x﹣1）（x+3）． 函数的极值点为x=1，x=﹣3， 当x＜﹣3，或x＞1时，函数是增函数，x∈（﹣3，1）时，函数是减函数， x=﹣3函数取得极大值，极大值为：f（﹣3）=32， x=1时，函数取得极小值，极小值为：f（1）=0． 【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，是中档题． 20. 某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米． (1)求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积； (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 参考答案： 21. 已知双曲线C：(0，b0)的离心率为，过点A（0，-b）和B(,0)的直线与原点的距离为。 (1) 求双曲线C的方程； (2) 直线 与该双曲线C交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求的取值范围。 参考答案： 解：(1)依题意   解得 ∴双曲线C的方程为 。 （2） 且   ① 设  的中点 则  ∵ ∴ 整理得     ② 联立① ②得      ∴或 又>0   ∴ ∴或 略 22. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形 （1）求f（6）的值 （2）求出f（n）的表达式 （3）求证：1≤+++…+＜． 参考答案： 考点：数列的应用；归纳推理． 专题：点列、递归数列与数学归纳法；推理和证明． 分析：（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）； （2）总结一般性的规律，可知f（n+1）﹣f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式； （3）根据通项特点，利用裂项法求和，结合数列的单调性即可得证． 解答： 解：（1）f（1）=1，f（2）=1+4=5， f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25， f（5）=1+4+8+12+16=41．f（6）=1+4+8+12+16+20=61； （2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1， f（3）﹣f（2）=8=4×2， f（4）﹣f（3）=12=4×3， f（5）﹣f（4）=16=4×4， 由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n． ∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）， f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4?（n﹣2）， f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4?（n﹣3）， … f（2）﹣f（1）=4×1， ∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1] =2（n﹣1）?n， ∴f（n）=2n2﹣2n+1； （3）证明：当n≥2时，==（﹣）， ∴+++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣） =1+（1﹣）=﹣． n=1时，上式也成立． 由于g（n）=﹣为递增数列， 即有g（n）≥g（1）=1， 且g（n）＜， 则1≤+++…+＜成立． 点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，同时考查了裂项法求数列的和，属于中档题．