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湖南省娄底市冷水江三尖乡中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(x)=x2+2xf′(﹣1),则f′(0)等于( )
A.4 B.0 C.﹣2 D.2
参考答案:
A
【考点】导数的运算.
【分析】把给出的函数求导得其导函数,在导函数解析式中取x=﹣1可求2f′(﹣1)的值.
【解答】解:由f(x)=x2+2xf′(﹣1),
得:f′(x)=2x+2f′(﹣1),
取x=﹣1得:f′(﹣1)=﹣2×1+2f′(﹣1),
所以f′(﹣1)=2.
故f′(0)=2f′(﹣1)=4,
故选:A.
2. 已知集合,,则M∩N= ( )
A. B. (0,6) C. [0,6) D. [3,6)
参考答案:
C
【分析】
先求出集合M,由此能求出M∩N.
【详解】
则
故选:C
【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义、函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
3. 定义:,其中为向量与的夹角,若,,,则( )
A. ; B. 8; C. 或8; D. 6
参考答案:
B
略
4. 设x,y满足条件的最大值为12,则的最小值为
A. B. C. D.4
参考答案:
D
5. 已知,则向量的夹角为( )
A B C D
参考答案:
C
6. 在复平面内,点(1,2)对应的复数为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知函数的图像与轴切于点,则的极大值、极小值分别为( ).
A. ,0 B.0, C. ,0 D.0,
参考答案:
A
略
8. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
参考答案:
D
【考点】圆的标准方程.
【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.
【解答】解:由题意知圆半径r=,
∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
故选:D.
9. 若k可以取任意实数,则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是 ( )
A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线
参考答案:
D
略
10. 为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点( )
A.沿轴向右平移个单位 B.沿轴向左平移个单位
C.沿轴向右平移个单位 D.沿轴向左平移个单位
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某空间几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积V= cm3,表面积S= cm2.
参考答案:
;
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥,根据标识的各棱长及高,代入棱锥体积、表面积公式可得答案.
【解答】解:由题意,该几何体是以俯视图为底面,有一条侧棱垂直于底面的三棱锥,
所以V==cm3,S=+++=.
故答案为:;.
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积、表面积,其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键.
12. 在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有 .
参考答案:
【考点】类比推理.
【分析】根据类比的方法,和类比积,加类比乘,由此类比即可得出结论.
【解答】解:在等差数列{an}中,若a10=0,有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n(n<19,n∈N*)成立,
∴在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式.
故答案为:.
13. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 (用数字回答)
参考答案:
36
略
14. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是( )
A.(-, ) B. (,-) C.(, -) D.(-, )
参考答案:
A
略
15. 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于A,B两点,则|AB|= .
参考答案:
8
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标,进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立,消去y,根据韦达定理求得x1+x2=的值,进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+求得答案.
【解答】解:抛物线焦点为(1,0)
则直线方程为y=x﹣1,代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0
∴x1+x2=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8
故答案为:8
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.
16. 已知,则 ;
参考答案:
17. 已知某随机变量X的分布列如下():
X
1
2
3
P
则随机变量X的数学期望=_______,方差=____________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知递增的等比数列{an}满足:a2?a3=8,a1+a4=9
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列,求数列{bn}的前n项的和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)利用等比数列的性质得到a2a3=a1a4=8,又a1+a4=9,由此求得首项和公比;根据等比数列的通项公式求得an=2n﹣1;
(2)利用“错位相减法求和法”进行解答即可.
【解答】解:(1)由题意,得a2a3=a1a4=8,又a1+a4=9,
所以a1=1,a4=8,或 a1=8,a4=1,
由{an}是递增的等比数列,知q>1所以a1=1,a4=8,且q=2,
∴,即an=2n﹣1;
(2)由(1)得,
所以
所以,
两式相减,得
,
得.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法求和法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 设函数f(x)=x3+3ax2﹣9x+5,若f(x)在x=1处有极值.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
参考答案:
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)利用f(x)在x=1时取极值,则求出f′(x)得到f′(1)=0,解出求出a即可.
(2)利用函数的导数,判断函数的单调性求解函数的极值即可.
【解答】解:(1)∵f′(x)=3x2+6ax﹣9,f(x)在x=1时取得极值,
∴f′(1)=3+6a﹣9=0
∴a=1.
(2)由(1)可得f′(x)=3x2+6x﹣9=3(x﹣1)(x+3).
函数的极值点为x=1,x=﹣3,
当x<﹣3,或x>1时,函数是增函数,x∈(﹣3,1)时,函数是减函数,
x=﹣3函数取得极大值,极大值为:f(﹣3)=32,
x=1时,函数取得极小值,极小值为:f(1)=0.
【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,考查学生的计算能力,是中档题.
20. 某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米.
(1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
参考答案:
21. 已知双曲线C:(0,b0)的离心率为,过点A(0,-b)和B(,0)的直线与原点的距离为。
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 直线 与该双曲线C交于不同的两点C、D,且C、D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求的取值范围。
参考答案:
解:(1)依题意 解得
∴双曲线C的方程为 。
(2)
且 ①
设 的中点
则
∵
∴
整理得 ②
联立① ②得 ∴或
又>0 ∴
∴或
略
22. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺锈最简单的四个图案,这些图案都是由小正方向构成,小正方形数越多刺锈越漂亮,向按同样的规律刺锈(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形
(1)求f(6)的值
(2)求出f(n)的表达式
(3)求证:1≤+++…+<.
参考答案:
考点:数列的应用;归纳推理.
专题:点列、递归数列与数学归纳法;推理和证明.
分析:(1)先分别观察给出正方体的个数为:1,1+4,1+4+8,…,即可求出f(5);
(2)总结一般性的规律,可知f(n+1)﹣f(n)=4n,利用叠加法,可求f(n)的表达式;
(3)根据通项特点,利用裂项法求和,结合数列的单调性即可得证.
解答: 解:(1)f(1)=1,f(2)=1+4=5,
f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12=25,
f(5)=1+4+8+12+16=41.f(6)=1+4+8+12+16+20=61;
(2)∵f(2)﹣f(1)=4=4×1,
f(3)﹣f(2)=8=4×2,
f(4)﹣f(3)=12=4×3,
f(5)﹣f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)﹣f(n)=4n.
∴f(n)﹣f(n﹣1)=4(n﹣1),
f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2),
f(n﹣2)﹣f(n﹣3)=4?(n﹣3),
…
f(2)﹣f(1)=4×1,
∴f(n)﹣f(1)=4[(n﹣1)+(n﹣2)+…+2+1]
=2(n﹣1)?n,
∴f(n)=2n2﹣2n+1;
(3)证明:当n≥2时,==(﹣),
∴+++…+=1+(1﹣+﹣+…+﹣)
=1+(1﹣)=﹣.
n=1时,上式也成立.
由于g(n)=﹣为递增数列,
即有g(n)≥g(1)=1,
且g(n)<,
则1≤+++…+<成立.
点评:本题主要考查归纳推理,其基本思路是先分析具体,观察,总结其内在联系,得到一般性的结论,同时考查了裂项法求数列的和,属于中档题.
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