2022-2023学年陕西省西安市东新中学高一数学理期末试卷含解析

2022-2023学年陕西省西安市东新中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设角的终边经过点P（-3，4），那么sin+2cos=（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是（    ） A．    B．      C．    D． 参考答案： B 因为是偶函数，则A、C错误， 又在[0,+∞)为增函数，则选B。 故选B。   3. 教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是（   ） ①教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行； ②教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直； ③教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行； ④教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： A 【分析】 每个选项逐一进行判断得到答案. 【详解】①当直尺与地面平行时，有无数条直线与直尺平行，错误 ②当直线与地面垂直时，有无数条直线与直尺垂直，错误 ③当直线与地面相交时，没有直线与直尺平行，错误 ④不管直尺与地面是什么关系，有无数条直线与直尺所在直线垂直，正确 答案选A 【点睛】本题考查了直线与平面的关系，属于简单题目. 4. 三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 参考答案： C 【考点】指数函数单调性的应用． 【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论． 【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0， 由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1 ∴b＜a＜c 故选C 5. 设偶函数在上是增函数，则与的大小关系是（     ） A.       B. C.        D. 不能确定 参考答案： A 6. 已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部（不含边界），则的取值范围是(　　) A． B． C．          D． 参考答案： D 7. 在等差数列{an}中，若a4+a6=12, Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为 A．48 B．54 C．60 D．66 参考答案： B 8. 等比数列中，，公比，用表示它前n项的积：，则中最大的是（   ） A      B      C       D    参考答案： C 9. 已知、为非零实数，且，则下列命题成立的是 A.         B.       C.        D. 参考答案： C 略 10. （本小题满分12分）如图所示，中，     ，，，    (1)试用向量，来表示．    (2)AM交DN于O点,求AO:OM的值.   参考答案： 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数 参考答案：  . 　　解析： 　　∴由    　　 　　 ① 　　注意到 　由①得： 　　 ② 　　再注意到当且仅当 　　于是由②及 得 　 12. 已知函数是以2为周期的偶函数, 且当时, 则的值为         . 参考答案： 略 13. 已知3x=2y=12，则+=　   　． 参考答案： 1 【考点】对数的运算性质． 【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：∵3x=2y=12， ∴x=，y=， 则+=+==1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14. 已知集合用列举法表示为_________． 参考答案： 略 15. 若a、b是函数的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________． 参考答案： 9 试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得 ，则． 考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a，b均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p，q． 16. 已知函数，，，总，使得成立，则实数a的取值范围是____________. 参考答案： 【分析】 先求出函数与的值域，然后再由，，使得成立，可知函数的值域是的值域的子集，即，进而建立不等关系求的取值范围即可. 【详解】∵，∴ ∵，∴，∴ ∴ 要使，总，使得成立， 则需满足： ∴ ，解得或 ∴的取值范围是. 【点睛】本题是一道综合性较强的题目，主要考察二次函数、三角函数在给定区间内的值域与建立不等关系求未知数的范围。在求函数的值域时注意利用数形结合方法进行分析。 17. 数列中,,且(,),则这个数列的______________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求f（）的值； （2）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1=sin（2ωx+）+1， 因为f（x）最小正周期为π，所以=π，解得ω=1， 所以f（x）=sin（2x+）+1， f（）=sin（+）+1=（sincos+cossin）+1=． （2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得 kπ﹣≤x≤kπ+， 所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题． 19. （本题16分）设函数（＞0且，），f（x）是定义域为R的奇函数． （1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性； （2）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），，求g（x）的值域； （3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于时恒成立．请求出最大的整数λ． 参考答案： （Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数， ∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x， ∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数， 设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+）， ∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数； （Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去）， 则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），，令t=2x﹣2﹣x，， 由（1）可知该函数在区间上为增函数，则﹣，， 则y=h（t）=t2﹣2t+2，﹣，， 当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，， （Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在时恒成立 令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则， 则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立， λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10． 20. （本小题满分8分）已知数列的前项和为，且， （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。 参考答案：    21. 已知是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的两个实根，且，求cosα+sinα的值． 参考答案： 【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；同角三角函数间的基本关系． 【分析】由根与系数关系得到=k， =1=k2﹣3，由后者解出k值，代入前等式，求出tanα的值．再由同角三角函数的基本关系求出角α的正弦与余弦值，代入求值． 【解答】解：∵，∴k=±2， 而，∴tanα＞0， 得， ∴，有tan2α﹣2tanα+1=0，解得tanα=1， ∴，有， ∴． 22. 如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点， 求证：（1）FD∥平面ABC； （2）AF⊥平面EDB. （3）求几何体的体积. 参考答案： （1）见解析（2）见解析（3） 【分析】 （1）如图：证明得到答案. （2）证明得到答案. （3）几何体转化为，利用体积公式得到答案. 【详解】 （1）∵F分别是BE的中点，取BA的中点M， ∴FM∥EA，FMEA＝1 ∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA， ∴CD∥FM，又CD＝FM ∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC， FD?平面ABC，MC?平面ABC ∴FD∥平面ABC． （2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB 又 EA垂直于平面ABC∴CM⊥AE， 又 AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF?面EAB ∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF， 因F是BE的中点，EA＝AB所以AF⊥EB． EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB． （3）几何体的体积等于 为中点，连接 平面 【点睛】本题考查了线面平行，线面垂直，等体积法，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.