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北京房山中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 过点且与原点的距离最大的直线方程是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
参考答案:
B
【考点】7F:基本不等式;8G:等比数列的性质.
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入中,将其变为2+,利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解:因为3a?3b=3,所以a+b=1,
,
当且仅当即时“=”成立,
故选择B.
【点评】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力.
3. 已知全集,集合,,则集合 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 函数 则的值为
A. B. C. D.18
参考答案:
C
略
5. 已知函数的定义域为[1,2],则函数的定义域为( )
A.[3,5] B. C.[5,9] D.
参考答案:
B
略
6. 执行如右上图所示的程序框图,如果输出的是a=341,那么判断框中可以是( )
(A)k<4? (B)k<5? (C)k<6? (D)k<7?
参考答案:
C
略
7. 若函数f(x)=sin(2x+φ)为R上的偶函数,则φ的值可以是( )
A.B. C. D.π
参考答案:
C
【考点】正弦函数的奇偶性.
【分析】根据三角函数的奇偶性,即可得出φ的值可以是什么.
【解答】解:函数f(x)=sin(2x+φ)为R上的偶函数,
则φ=+2kπ,k∈Z;
所以φ的值可以是.
故选:C.
8. 在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为( )
A. B.2 C.2 D.4
参考答案:
B
【考点】HP:正弦定理.
【分析】由条件求得 c=2=b,可得B的值,再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值.
【解答】解:△ABC中,∵b=2,A=120°,三角形的面积S==bc?sinA=c?,∴c=2=b,
故B==30°.
再由正弦定理可得=2R==4,∴三角形外接圆的半径R=2,
故选:B.
9. 若函数g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( )
A.9 B.7 C.5 D.3
参考答案:
C
【考点】函数的值.
【专题】计算题.
【分析】由函数的解析式得,必须令x+2=3求出对应的x值,再代入函数解析式求值.
【解答】解:令x+2=3,解得x=1代入g(x+2)=2x+3,
即g(3)=5.
故选C.
【点评】本题的考点是复合函数求值,注意求出对应的自变量的值,再代入函数解析式,这是易错的地方.
10. 已知是从到的映射,若1和8的原象分别是3和10,则5在下的象是( )
.3 .4 .5 .6
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设x,y∈R,向量=(x,1),=(1,y),=(2,﹣4)且⊥,∥,则|+|= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;向量的模.
【分析】由向量平行、垂直的充要条件,列出关于x、y的方程并解之,可得=(2,1)且=(1,﹣2),由此不难算出+向量的坐标,从而得到|+|的值.
【解答】解:∵向量=(x,1),=(2,﹣4),且⊥,
∴x×2+1×(﹣4)=0,解得x=2,得=(2,1),
又∵=(1,y),=(2,﹣4),且∥,
∴1×(﹣4)=y×2,解得y=﹣2,得=(1,﹣2),
由此可得: +=(2+1,1+(﹣2))=(3,﹣1)
∴|+|==
故答案为:
【点评】本题给出三个向量,在已知向量平行、垂直的情况下求和向量的模,着重考查了向量平行、垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算等知识,属于基础题.
12. 若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程是
参考答案:
略
13. 已知偶函数()的值域为,则该函数的解析式为 ▲ .
参考答案:
14. 对于函数,如果,我们就称实数是函数
的不动点. 设函数,则函数的不动点一共
有 个.
参考答案:
2
15. 由可知,弧度的角为第______________象限的角.
参考答案:
四
16. (5分)已知f()=x+2,则f(x)= .(指出x范围)
参考答案:
x2﹣1(x≥1)
考点: 函数解析式的求解及常用方法.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 利用换元法,令=t(t≥1)求函数的解析式.
解答: 令=t(t≥1),则x=(t﹣1)2,
则f(t)=(t﹣1)2+2(t﹣1)
=t2﹣1;
则f(x)=x2﹣1(x≥1),
故答案为:x2﹣1(x≥1).
点评: 本题考查了函数解析式的求法,属于基础题.
17. 在△ABC中,已知,则b=_______.
参考答案:
3
【分析】
根据余弦定理求解.
【详解】由余弦定理得:
即
解得或(舍去)
【点睛】本题考查解三角形,正弦定理余弦定理是常用方法,注意增根的排除.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式,结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可.
(2)利用三角函数的单调性进行求解即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
∴x≠kπ+,即函数的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},
则f(x)=4tanxcosx?(cosx+sinx)﹣
=4sinx(cosx+sinx)﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+(1﹣cos2x)﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin(2x﹣),
则函数的周期T=;
(2)由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,即函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z,
当k=0时,增区间为[﹣,],k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此时x∈[﹣,],
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,即函数的减区间为[kπ+,kπ+],k∈Z,
当k=﹣1时,减区间为[﹣,﹣],k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此时x∈[﹣,﹣],
即在区间[﹣,]上,函数的减区间为∈[﹣,﹣],增区间为[﹣,].
19. 在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a﹣c)cosB.
(1)求cosB;
(2)若?=4,b=4,求边a,c的值.
参考答案:
【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;余弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值.
(2)由 ?=4 可得 ac=12,再由余弦定理可得 a2+c2=40,由此求得边a,c的值.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得 sinBcosC=(3sinA﹣sinC)cosB,
∴3sinA?cosB﹣sinC?cosB=sinBcosC,化为:3sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.
∵在△ABC中,sinA≠0,故cosB=.
(2)由 ?=4,b=4,可得,a?c?cosB=4,即 ac=12.…①.
再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2﹣2ac?cosB=a2+c2﹣,即 a2+c2=40,…②.
由①②求得a=2,c=6; 或者a=6,c=2.
综上可得,,或.
20. (14分)的三个内角所对的边分别为,向量,,且.
(1)求的大小;
(2)现在给出下列三个条件:①;②;③,
试从中选择两个条件以确定,求出所确定的的面积.
参考答案:
解:(1)因为,所以……………2分
即:,所以…………4分
因为,所以
所以………………………………7分
(2)方案一:选择①②,可确定,
因为
由余弦定理,得:
整理得:……………10分
所以……………………14分
方案二:选择①③,可确定,
因为
又
由正弦定理……………10分
所以……………14分
(注意;选择②③不能确定三角形)
21. 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道(三条边,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上,已知米,米,记.
(1)试将污水净化管道的总长度L(即的周长)表示为的函数,并求出定义域;
(2)问取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的总长度.
参考答案:
(1),; (2)或时,L取得最大值为米..
【分析】
(1)解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式,再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式,并注明θ的范围.
(2)设sinθ+cosθ=t,根据函数 L= 在[,]上是单调减函数,可求得L的最大值.
所以当时,即 或 时,L取得最大值为米.
【详解】由题意可得,,,由于 ,,
所以,,
,
即,
设,则,由于,
由于在上是单调减函数,
当时,即或时,L取得最大值为米.
【点睛】三角函数值域得不同求法:
1.利用和的值域直接求
2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域
3.通过换元,转化成其他类型函数求值域
22. (本小题满分12分)已知向量,=(cos x,-1).
(1)当向量∥时,求cos2x-sin 2x的值;
(2)设函数f(x)=2(+)·,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的取值范围.
参考答案:
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