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广东省阳江市阳春第二高级中学高一数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 有两项调查:① 某社区有300个家庭,其中高收入家庭105户,中等收入家庭180户,低收入家庭15户,为了了解社会购买力的某项指标,要从中抽出一个容量为100户的样本;② 在某地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况.这两项调查宜采用的抽样方法是
A. 调查①采用系统抽样法,调查②采用分层抽样法
B. 调查①采用分层抽样法,调查②采用系统抽样法
C. 调查①采用分层抽样法,调查②采用抽签法
D. 调查①采用抽签法,调查②采用系统抽样法
参考答案:
C
2. 函数的值域是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. (5分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为()
A. (﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) C. (﹣1,0)∪(0,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
参考答案:
C
考点: 函数单调性的性质;奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数为奇函数求出f(1)=0,再将不等式x f(x)<0分成两类加以分析,再分别利用函数的单调性进行求解,可以得出相应的解集.
解答: ∵f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,
∴f(1)=﹣f(﹣1)=0,在(﹣∞,0)内也是增函数
∴=<0,
即或
根据在(﹣∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数
解得:x∈(﹣1,0)∪(0,1)
故选:C
点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基础题.结合函数的草图,会对此题有更深刻的理解.
4. (5分)下列图象表示的函数中没有零点的是()
A. B.
C. D.
参考答案:
A
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标,观察图象可得结论.
解答: 由于函数的零点就是函数的图象和横轴交点的横坐标,
观察图象可知A选项中图象对应的函数没有零点.
故选A.
点评: 本题主要考查函数的零点的定义,属于基础题.
5. 函数f(x)=+lg(x+2)的定义域为( )
A.(﹣2,1) B.(﹣2,1] C.[﹣2,1) D.[﹣2,﹣1]
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.
【专题】计算题.
【分析】根据题意可得,解不等式可得定义域.
【解答】解:根据题意可得
解得﹣2<x≤1
所以函数的定义域为(﹣2,1]
故选B
【点评】本题考查了求函数的定义域的最基本的类型①分式型:分母不为0②对数函数:真数大于0,求函数定义域的关键是根据条件寻求函数有意义的条件,建立不等式(组),进而解不等式(组).
6. 已知,其中是第二象限角,则= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
因为,其中是第二象限角,
所以,故选A.
7. 已知则( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
8. 若点在第一象限,则在内的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
9. 已知,,那么的值是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B 解析:
10. 设f(x)=3x+3x﹣8,计算知f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则函数的零点落在区间( )
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5,2) D. 不能确定
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若不等式的解集是,不等式的解集是,且, 中,,则不等式的解集为 .
参考答案:
12. 已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x﹣2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 .
参考答案:
a<c<b
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】根据函数解析式判断出f(x)=2x+x,g(x)=x﹣2,h(x)=log2x+x都是单调递增函数,运用函数零点定理判断a,b,c的范围即可得a,b,c的大小.
【解答】解:由于f(﹣1)==<0,f(0)=1>0,
故f(x)=2x+x的零点a∈(﹣1,0).
∵g(2)=0∴g(x)的零点b=2;
∵h()==,h(1)=1>0
∴h(x)的零点c∈(),
由于函数f(x)=2x+x,g(x)=x﹣2,h(x)=log2x+x均是定义域上的单调增函数,
∴a<c<b.
故答案为:a<c<b.
13. 已知,若,则适合条件的实数的取值集合 .
参考答案:
因为已知集合N是M的子集,那么可知N中的元素都是在集合M中,那么a=0,显然成立,当a不为零是,则有,解得实数a的取值集合为
14. 在二分法求方程f(x)=0在[0,4]上的近似解时,最多经过 次计算精确度可以达到0.001.
参考答案:
12
【考点】二分法求方程的近似解.
【分析】精确度是方程近似解的一个重要指标,它由计算次数决定.若初始区间是(a,b),那么经过1次取中点后,区间的长度是,…,经过n次取中点后,区间的长度是,只要这个区间的长度小于精确度m,那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解,由此可得结论.
【解答】解:初始区间是[0,4],精确度要求是0.001,需要计算的次数n满足<0.001,即2n>4000,
而210=1024,211=2048,212=4096>4000,故需要计算的次数是12.
故答案为:12
15. 不等式的解集为
参考答案:
[-3,1]
略
16. 化简=
参考答案:
2
17. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与CD所成的角为90°,④取BC中点E,则∠AEO为二面角A-BC-D的平面角.
其中正确结论是__________.(写出所有正确结论的序号)
参考答案:
①,②
如图所示,取中点,则,,
所以平面,从而可得,故①正确;
设正方形边长为1,则,
所以,又因为, 所以是等边三角形,故②正确;
分别取,的中点为,,连接,,.则,且,,且,则是异面直线,所成的角.
在中,,,
∴.
则是正三角形,故,③错误;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an﹣1)(n∈N*)
(1)求a1,a2,a3的值.
(2)求an的通项公式.
参考答案:
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(1)先把n=1代入Sn=(an﹣1)可以求得首项,再把n=2,3依次代入即可求出a2,a3的值.
(2)直接利用an和Sn的关系:an=Sn﹣Sn﹣1 (n≥2)得到数列的递推关系,再整理得到规律即可求出数列的通项公式.
【解答】解:(1)由S1=a1=(a1﹣1),得a1=﹣.
S2=a1+a2=(a2﹣1)得
同理.
(2)当n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=(an﹣1)﹣(an﹣1﹣1)?﹣2an=an﹣1?=﹣
所以数列{an}是首项为﹣,公比为﹣的等比数列.
所以an=
【点评】本题第二问考查了已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式,根据an和Sn的关系:an=Sn﹣Sn﹣1 (n≥2)求解数列的通项公式.另外,须注意公式成立的前提是n≥2,所以要验证n=1时通项是否成立,若成立则:an=Sn﹣Sn﹣1 (n≥1);若不成立,则通项公式为分段函数.
19. 已知函数的定义域为集合A,y=﹣x2+2x+2a的值域为B.
(1)若a=2,求A∩B
(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】交集及其运算;并集及其运算.
【分析】求出函数y=的定义域确定出A,求出y=﹣x2+2x+2a的值域确定出B,
(1)把a=2代入确定出B,求出A与B的交集即可;
(2)由A与B的并集为R,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的范围.
【解答】解:依题意:整理得A={x︳x>3},函数y=﹣x2+2x+2a=﹣(x﹣1)2+1+2a≤1+2a,即B={x︳x≤2a+1},
(1)当a=2时,B={x|x≤5},
∴A∩B={x︳3<x≤5};
(2)∵A∪B=R,∴根据题意得:2a+1≥3,
解得:a≥1,
则实数a的取值范围是[1,+∞).
20. 某工厂新研发了一种产品,该产品每件成本为5元,将该产品按事先拟定的价格进行销售,得到如下数据:
单价(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求销量y(件)关于单价x(元)的线性回归方程;
(2)若单价定为10元,估计销量为多少件;
(3)根据销量y关于单价x的线性回归方程,要使利润P最大,应将价格定为多少?
参考公式:,.参考数据:,
参考答案:
(1)(2)当销售单价定为10元时,销量为50件(3)要使利润达到最大,应将价格定位8.75元.
【分析】
(1)由均值公式求得均值,,再根据给定公式计算回归系数,得回归方程;
(2)在(1)的回归方程中令,求得值即可;
(3)由利润可化为的二次函数,由二次函数知识可得利润最大值及此时的值.
【详解】(1)由题意可得,
,
则
,
从而,故所求回归直线方程为.
(2)当时,,
故当销售单价定为10元时,销量为50件.
(3)由题意可得,,
故要使利润达到最大,应将价格定位8.75元.
【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题时只要根据已知公式计算,计算能力是正确解答本题的基础.
21. (本小题满分12分)已知(),
函数,且的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
参考答案:
解:(Ⅰ)
∴
∴ …………………………………4分
函数的最小正周期为,且,
∴,解得 ………ks5u………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得. ∴欲求的增区间,
只需 , ………………………………8分
解得: ………………………………10分
∴函数的单调递增区间为 ………………12分
22. 在△ABC中,已知A(1,1),AC边上的高线所在直线方程为x﹣2y=0,AB边上的高线所在直线方程为3x+2y﹣3=0.求BC边所在直线方程.
参考答案:
【考点】IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】通过直线方程求出AC、AB的斜率,然后求出AC的方程,AB的方程,求出B、C的坐标即可求解BC的方程.
【解答】解:因为AC边上的高线所在直线方程为x﹣2y=0,所以kAC=﹣2,
AB边上的高线所在直线方程为3x+2y﹣3=0.所以kAB=.
∴直线AC的方程:y﹣1=﹣2(x﹣1),即2x+y﹣3=0,
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