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江西省上饶市私立清湖中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 当-≤x≤时,函数f(x)=sin x+cos x的 ( )
A.最大值是1,最小值是-1
B.最大值是1,最小值是-
C.最大值是2,最小值是-2
D.最大值是2,最小值是-1
参考答案:
D
2. 已知函数,则函数( )
A.是奇函数,且在上是减函数 B.是偶函数,且在上是减函数
C.是奇函数,且在上是增函数 D.是偶函数,且在上是增函数
参考答案:
C
略
3. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则CC1与平面AB1C1所成的角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4. 等差数列 的公差不为零,首项 的等比中项,则数列的前10项之和是
A、90 B、100 C、145 D、190
参考答案:
B
5. 下列函数中是偶函数,且在上单调递增的是( ).
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
6. 已知函数f(x)=,则f(log23)=( )
A.6 B.3 C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的值.
【专题】计算题;方程思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】由函数性质得f(log23)=f(log23+1)=,由此能求出结果.
【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f(log23)=f(log23+1)=
=3×2=6.
故选:A.
【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.
7. 10.下列函数中,最小正周期是上是增函数的( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
8. 函数f(x)=log2(x+1)﹣的其中一个零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可.
【解答】解:∵f(1)=﹣2=﹣1<0,f(2)=﹣1>0,
∴函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2),
故选:B.
【点评】本题考查了函数零点的判定定理,是一道基础题.
9. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数成为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
参考答案:
C
略
10. 三个平面将空间分成7个部分的示意图是( )
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设向量,,且,则x=______.
参考答案:
-3
【分析】
根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x.
【详解】∵;
∴;
∴x=﹣3;
故答案为:﹣3.
【点睛】考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题.
12. 化简: .
参考答案:
。
解析:利用反三角求值或构造三个正方形也可求解。
13. 若tanα=2,则= ;sinα?cosα= .
参考答案:
2,
【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tanα=2,则==tanα=2,
sinα?cosα===,
故答案为:2;.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.
14. 设x,y∈R+且x+y=2,则+的最小值为 .
参考答案:
【考点】7F:基本不等式.
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x,y∈R+且x+y=2,
∴+===,当且仅当=时取等号.
∴+的最小值为.
故答案为:.
15. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, .
参考答案:
略
16. 直线l过点(﹣1,2)且与直线2x﹣3y+4=0垂直,则直线l的方程是 .
参考答案:
3x+2y﹣1=0
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为3x+2y+c=0,再把点(﹣1,2)代入,即可求出c值,得到所求方程.
【解答】解:∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直,∴设方程为3x+2y+c=0
∵直线过点(﹣1,2),∴3×(﹣1)+2×2+c=0
∴c=﹣1
∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0.
故答案为3x+2y﹣1=0.
17. 若是奇函数,则a= .
参考答案:
﹣1
【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据奇函数的定义:在定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x).可以用这一个定义,采用比较系数的方法,求得实数m的值.
【解答】解:∵
∴
∵是奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x)=
∴恒成立
即恒成立
∴2+a=1?a=﹣1
故答案为:﹣1
【点评】本题着重考查了函数奇偶性的定义、基本初等函数的性质等知识点,属于基础题.请同学们注意比较系数的解题方法,在本题中的应用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数 f(x)=.
(1)若f(x)是奇函数,求m的值;
(2)当m=1时,求函数f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(﹣∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(3)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的函数,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.
【分析】(1)根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可.
(2)根据分式函数的性质以及有界函数的定义进行求解判断即可.
(3)根据函数的有界性建立不等式关系,利用不等式恒成立进行求解即可.
【解答】解:(1)由f(x)是奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x)
得,即(1﹣m2)2x=0,∴m2﹣1=0,m=±1.
(2)当m=1时,.
∵x<0,∴0<2x<1,∴f(x)∈(0,1),满足|f(x)|≤1.
∴f(x)在(﹣∞,0)上为有界函数.
(3)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,则有|f(x)|≤3在[0,1]上恒成立.
∴﹣3≤f(x)≤3,
即,
∴,化简得:,
即,
上面不等式组对一切x∈[0,1]都成立,
故,
∴.
19. 某家具厂有方木料90m3,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2;生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,怎样安排生产可使所得利润最大?最大利润为多少?
参考答案:
【考点】7D:简单线性规划的应用;5D:函数模型的选择与应用.
【分析】本题一线性规划的问题,据题意建立起约束条件与目标函数,作出可行域,利用图形求解.
【解答】解:设生产书桌x张,书橱y张,利润z元,则目标函数z=80x+120y,
约束条件为
作出上可行域:
作出一组平行直线2x+3y=t,此直线经过点A时,即合理安排生产,生产书桌100张,书橱400个,有最大利润为zmax=80×100+400×120=56000元.
20.
参考答案:
略
21. (10分)已知集合A={x|﹣3≤x≤2},集合B={x|1﹣m≤x≤3m﹣1}.
(1)求当m=3时,A∩B,A∪B;
(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.
参考答案:
考点: 集合关系中的参数取值问题;交集及其运算.
专题: 计算题.
分析: (1)由题意可得,B={x|﹣2≤x≤8},根据集合的基本运算可求
(2)由A∩B=A得AB,结合数轴可求m的范围
解答: (1)当m=3时,B={x|﹣2≤x≤8},…(2分)
∴A∩B={x|﹣3≤x≤2}∩{x|﹣2≤x≤8}={x|﹣2≤x≤2},…(5分)
A∪B={x|﹣3≤x≤2}∪{x|﹣2≤x≤8}={x|﹣3≤x≤8}.…(8分)
(2)由A∩B=A得:AB,…(9分)
则有:,解得:,即:m≥4,…(11分)
∴实数m的取值范围为m≥4.…(12分)
点评: 本题主要考查了集合的交集、并集的基本运算,集合包含关系的应用,解题的关键是准确利用数轴
22. (10分)(2012?船营区校级模拟)已知函数f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;
(2)若对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数的最值及其几何意义;函数的定义域及其求法;函数的值域.
【专题】计算题;转化思想.
【分析】(1)先将函数进行配方得到对称轴,判定出函数f(x)在[1,a]上的单调性,然后根据定义域和值域均为[1,a]建立方程组,解之即可;
(2)将a与2进行比较,将条件“对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4”转化成对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有f(x)max﹣f(x)min≤4恒成立即可.
【解答】解:(1)∵f(x)=(x﹣a)2+5﹣a2(a>1),
∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a],
∴,
即,解得a=2.
(2)若a≥2,又x=a∈[1,a+1],且,(a+1)﹣a≤a﹣1
∴f(x)max=f(1)=6﹣2a,f(x)min=f(a)=5﹣a2.
∵对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,
∴f(x)max﹣f(x)min≤4,即(6﹣2a)﹣(5﹣a2)≤4,解得﹣1≤a≤3,
又a≥2,∴2≤a≤3.
若1<a<2,fmax(x)=f(a+1)=6﹣a2,f(x)min=f(a)=5﹣a2,
f(x)max﹣f(x)min≤4显然成立,综上1<a≤3.
【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义,同时考查了转化与划归的数学思想,属于中档题之列.
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