河南省商丘市城关镇东关中学2023年高一数学理联考试题含解析

河南省商丘市城关镇东关中学2023年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间上的最大值是最小值的3倍，则a等于（） A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质． 专题： 计算题． 分析： 由函数f（x）=logax（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值． 解答： ∵0＜a＜1， ∴f（x）=logax是减函数． ∴logaa=3?loga2a． ∴loga2a=． ∴1+loga2=． ∴loga2=﹣． ∴a=． 故选A 点评： 函数y=ax和函数y=logax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a﹣x和函数y=loga（﹣x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数． 2. 按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和应为人民币（  ）万元． A.  B.   C.   D. 参考答案： B 3. 目标函数，变量满足，则有　　（    ） A．      B．无最小值 C．无最大值         D．既无最大值，也无最小值 参考答案： C 略 4. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（　　）    A. （0，4]      B.        C.       D. 参考答案： C 略 5. 下列图像中，能表示函数图像的是（       ）         A                  B              C              D 参考答案： A 6. 在同一直角坐标系中，函数（且）的图象可能是                  A                B                 C                D   参考答案： D 对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求； 对于B项，幂函数，对数函数，所以B项不满足要求； 对于C项，幂函数要求，而对数函数要求，，所以C项不满足要求； 对于D项，幂函数与对数函数都要求，所以D项满足要求； 故选D.   7. 已知奇函数在（0，+ ∞）上为减函数，且，则不等式＞0的解集为（　 ）　   A．    B．   C．　 D．  参考答案： D 略 8. 已知f（x）为定义在（0，+∞）上的函数，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a=，b=，c=，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质． 【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的减函数，比较大小可得0.22＜20.2＜log25，故可得答案． 【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有， ∴函数是（0，+∞）上的减函数， ∵1＜20.2＜2，0＜0.22＜1，l0g25＞2， ∴0.22＜20.2＜log25， ∴c＜a＜b． 故选C． 9. 已知，用表示是（   ）      A.     B.    C .        D. 参考答案： B 略 10.                                                        A．      B．      C．            D、             参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数，满足不等式组，则的最小值是　　． 参考答案： 略 12. 有下列说法： （1）函数y=﹣cos2x的最小正周期是π； （2）终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}； （3）函数y=4sin（2x﹣）的一个对称中心为（，0） （4）设△ABC是锐角三角形，则点P（sinA﹣cosB，cos（A+B））在第四象限 则正确命题的序号是　_________　． 参考答案： （1）（3）（4） 13. 经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程是___________． 参考答案： 略 14. 在梯形ABCD中, ，,设,,则          (用向量a,b表示). 参考答案：                15. （5分）计算：=           ． 参考答案： 考点： 有理数指数幂的运算性质． 专题： 计算题． 分析： 根据指数幂的运算法则进行计算即可． 解答： ==， 故答案为：． 点评： 本题主要考查指数幂的计算，利用指数幂的运算法则是解决本题的关键，比较基础． 16. 数列{an}前n项和为Sn=n2+3n，则{an}的通项等于　     　． 参考答案： an=2n+2 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an． 【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3=4， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2， 当n=1时，2n+2=4=a1，适合上式 ∴an=2n+2． 故答案为2n+2，（n∈N*） 17. （5分）设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为      ． 参考答案： 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 计算题． 分析： 由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=是奇函数，结合奇函数的 性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b 解答： ∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数 ∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立 ∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax ∴=lg（10x+1）﹣x ∴（2a+1）x=0 ∴2a+1=0 即 ∵g（x）=是奇函数 ∴g（0）=1﹣b=0 ∴b=1 ∴ 故答案为： 点评： 本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，解题中要善于利用奇函数的性质f（0）=0（0在该函数的定义域内）可以简化基本运算． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，，那么的值为     .   参考答案： 略 19. 化简求值 （1）化简； （2）若2lg（3x﹣2）=lgx+lg（3x+2），求的值． 参考答案： 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【分析】（1）利用乘法公式化简即可得出． （2）利用对数函数的定义域、运算法则即可得出． 【解答】解：（1）原式= = = （2）由2lg（3x﹣2）=lgx+lg（3x+2），得，∴． 又（3x﹣2）2=x（3x+2）， ∴x=2或（舍），∴． 20. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）． （1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式； （2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数； （3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值． 参考答案： 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性． 【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式； （2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数； （3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值． 【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\ A=3， =﹣=， ∴T=π，ω==2； 根据五点法画图知，2×+φ=， 解得φ=﹣， ∴f（x）=3sin（2x﹣）； （2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后， 所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象， 又函数y是偶函数， ∴2m﹣=+kπ，k∈Z， 解得m=+，k∈Z， ∴m的最小正数是； （3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数， A＞0，ω＞0， ∴﹣≤φ≤ω+φ≤， 解得ω≤﹣； 又﹣π＜φ＜0， ∴﹣≤φ＜0， ∴0＜﹣≤， ∴ω≤+=3， 即ω的最大值为3． 【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题． 21. 已知某海港的货运码头只能停泊一艘货轮，甲、乙两艘货轮都要在此码头停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘货轮中有一艘货轮停泊在此码头，另一艘货轮等待的概率． 参考答案： 见解析 【考点】几何概型． 【专题】计算题；转化思想；数形结合法；概率与统计． 【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率． 【解答】解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域 Ω=，其面积SΩ=242，如图所示 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A=，即图中阴影部分，其面积为SA=242﹣182， 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P（A）==． 【点评】本题主要考查建模、解模能力；解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率． 22. 已知圆C经过坐标原点，且与直线x﹣y+2=0相切，切点为A（2，4）． （1）求圆C的方程； （2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，求的取值范围.. 参考答案： 【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；J8：直线与圆相交的性质；J9：直线与圆的位置关系． 【分析】（1）解法一：求出直线AC的方程，再求出线段OA的垂直平分线方程，联立方程组求出圆心C的坐标，可得圆的半径， 从而写出C的方程． 解法二：设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据点A和点O在圆上，圆心到切线的距离等于半径建立方程组， 求出a、b、r的值 从而求出C的方程． （2）解：设直线l的方程为y=x+m，M（x1，y1），N（x2，y2），把直线方程代入圆的方程利用根与系数的关系求出 x1+x2和x1?x2的值，代入的解析式化简为（m﹣6）2．再根据圆心到直线的距离小于半径求出m的范围，即可得到（m﹣6）2的距离． 【解答】（1）解法一：圆的圆心为C，依题意得直线AC的斜率KAC=﹣1， ∴直线AC的方程为y﹣4=﹣（x﹣2），即x+y﹣6=0． ∵直线OA的斜率KOA==2，∴线段OA的垂直平分线为y﹣2=（x﹣1），即x+2y﹣5=0． 解方程组得圆心C的