2022-2023学年云南省大理市市下关第三中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年云南省大理市市下关第三中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题中正确命题的个数是（　　） （1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0” （2）设回归直线方程=1+2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位 （3）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 （4）对命题p：?x0∈R，使得，则?p：?x∈R，均有x2+x+1≥0． A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题． 【分析】（1）根据命题的逆否命题是对题设和结论分别否定且交换特殊和结论可判断； （2）由回归直线方程=1+2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位； （3）若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题； （4）根据特命题的否定是全称命题可判断． 【解答】解：（1）根据命题的逆否命题是对题设和结论分别否定且交换特殊和结论可知，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，故（1）正确； （2）由回归直线方程=1+2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位，故（2）正确； （3）若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故（3）错误； （4）根据特命题的否定是全称命题可知，p：?x0∈R，使得，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；故（4）正确； 正确的命题有（1），（2），（4），共3个， 故选：B 【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的否定，线性回归方程的意义，复合命题的真假关系的应用，属于知识的综合应用． 2. 成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，则数列{bn}的通项公式为（　　） A．bn=2n B．bn=3n C．bn=2n﹣1 D．bn=3n﹣1 参考答案： A 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【分析】设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d，由条件可得a=4，再由等比数列中项的性质，可得d的方程，解得d=1，求得等比数列的公比为2，首项为2，即可得到数列{bn}的通项公式． 【解答】解：设成等差数列的三个正数分别为a﹣d，a，a+d， 可得3a=12，解得a=4， 即成等差数列的三个正数分别为4﹣d，4，4+d， 这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4， 可得（4+4）2=（1+4﹣d）（4+d+11）， 解方程可得d=1（﹣11舍去）， 则b2=4，b3=8，b4=16，即有b1=2， 则bn=2?2n﹣1=2n， 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质和通项公式，考查运算能力，属于基础题． 3. 已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是                                                                   （    ） A．                            B． C．                             D．   参考答案： A 略 4. 若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数恒成立问题． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用． 【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可． 【解答】解：由3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0得3x+2a（y﹣2ex）ln=0， 即3+2a（﹣2e）ln=0， 即设t=，则t＞0， 则条件等价为3+2a（t﹣2e）lnt=0， 即（t﹣2e）lnt=﹣有解， 设g（t）=（t﹣2e）lnt， g′（t）=lnt+1﹣为增函数， ∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0， ∴当t＞e时，g′（t）＞0， 当0＜t＜e时，g′（t）＜0， 即当t=e时，函数g（t）取得极小值为：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e， 即g（t）≥g（e）=﹣e， 若（t﹣2e）lnt=﹣有解， 则﹣≥﹣e，即≤e， 则a＜0或a≥， 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强． 5. 函数的图象大致是（   ） 参考答案： D 6. 若则下列结论正确的是 A.     B.      C.     D. 参考答案： A 7. 要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（　　） A．  B．  C． D． 参考答案： B   解析：，间隔应为8. 是等差数列的前项和，若，则（  ）   A. 15     B. 18    C. 9    D. 12 参考答案： D 略 9. 已知，向量与垂直，则实数的值为（    ）        A．             B．                 C．             D． 参考答案： A 略 10. 已知向量，其中m、n、。若，则当恒成立时，实数的取值范围是        A．              B．          C．                   D． 参考答案： 答案:B   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_______ 参考答案： 3 12. 参数方程(是参数)表示的曲线的普通方程是_________________. 参考答案： 答案： () 13. 不等式的解集是___________。   参考答案： 原不等式等价为或，即或，解得或，所以原不等式的解集为。 14. 不等式的解集为        .     参考答案： 15. 在中,,,,那么的长度为      ． 参考答案： 16. 已知P是椭圆上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为的值为       ； 参考答案： 略 17. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则△ABC的面积为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣． （1）求函数f（x）的单调减区间； （2）已知△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中b=2，若锐角A满足f（﹣）=3，且≤B≤，求边c的取值范围． 参考答案： 【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数． 【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可化简f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出． （2）由且角A为锐角得：．又由正弦定理及b=2，可得c． 【解答】解：（1）∵，∴（3分）∴（6分） 因此，函数f（x）的单调减区间为（7分） （2）由且角A为锐角得：    （9分） 又由正弦定理及b=2， ∴（2分） ∵，∴（14分） 【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性、正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点. （I）求证：平面； (II)若//平面，试确定点的位置，并给出证明； 参考答案： (I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点， ∴   …………………………1分 ,,  ∴⊥平面 ………………………3分 平面 ∴，即 …………………5分 又 ∴平面      …………………………………7分   （II）当是棱的中点时，//平面.……………………………8分 证明如下: 连结,取的中点H，连接, 则为的中位线  ∴∥，…………………10分 ∵由已知条件，为正方形   ∴∥，    ∵为的中点，∴          ………………12分 ∴∥，且 ∴四边形为平行四边形∴∥ 又  ∵            ……………………13分 ∴//平面                                    ……………………14 20. 已知，，直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）设，，连接并延长，与轨迹交于另一点，点是中点，是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 参考答案： （1）设，∵，，∴，， 又，∴，∴， ∴轨迹的方程为（注：或，如不注明扣一分）. （2）由，分别为，，的中点，故， 故与同底等高，故，， 当直线的斜率不存在时，其方程为，此时； 当直线的斜率存在时，设其方程为：，设，， 显然直线不与轴重合，即； 联立，解得， ，故， 故， 点到直线的距离， ，令， 故， 故的最大值为. 21. 【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知曲线C1：（参数θ∈R），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，点Q的极坐标为（，）． （1）将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q的直角坐标； （2）设P为曲线C1上的点，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得结论； （2）利用参数方程，结合三角函数知识，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值． 【解答】解：（1），得， 故曲线C2的直角坐标方程为， 点Q的直角坐标为（4，4）． （2）设P（12cosθ，4sinθ），故PQ中点M（2+6cosθ，2+2sinθ），C2的直线方程为， 点M到C2的距离= =， PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值是． 　 22. 已知，其中． （1）若，，求在处的切线； （2）若，当时，对任意的都有，求的取值范围． 参考答案： （1）当，时，，所以， 因为，所以，即， 故切线方程是，整理得． （2）当时，，因为时，， 整理得， 令，因为， 当时，，即在时是减函数； 当时，，即在上是增函数，所以． 故．