山西省阳泉市第十七中学2023年高一数学文测试题含解析

山西省阳泉市第十七中学2023年高一数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 化简                                              （    ） A.                  B.            C.             D. 参考答案： C 2. 下列说法中正确的是（　　） A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等 参考答案： B 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】从棱柱的定义出发判断A、B、D的正误，找出反例否定C，即可推出结果． 【解答】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确； 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正确； 所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确； 棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，所以D不正确； 故选B 3. （5分）关于直线a、b与平面α、β，有下列四个命题：其中真命题的序号是（） ①若a∥α，b∥β且α∥β，则a∥b     ②若a⊥α，b⊥β且α⊥β，则a⊥b ③若a⊥α，b∥β且α∥β，则a⊥b     ④若a∥α，b⊥β且α⊥β，则a∥b． A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ④① 参考答案： B 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答，判断线线关系． 解答： 对于①，若a∥α，b∥β且α∥β，则a与b平行或者异面；故①错误；     对于②，若a⊥α，b⊥β且α⊥β，根据线面垂直的性质以及面面垂直的性质可以判断a⊥b；故②正确； 对于③，若a⊥α，b∥β且α∥β，根据线面垂直、线面平行的性质以及面面平行的性质可以得到a⊥b；故③正确；     对于④，若a∥α，b⊥β且α⊥β，则a与b可能平行，可能垂直，故④错误； 故选B． 点评： 本题考查了线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理的运用；熟练掌握定理是关键． 4. 若点（a，b）在函数f（x）=lnx的图象上，则下列点中不在函数f（x）图象上的是（　　） A．（，﹣b） B．（a+e，1+b） C．（，1﹣b） D．（a2，2b） 参考答案： B 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】利用点在曲线上，列出方程，利用对数的运算法则化简，判断选项即可． 【解答】解：因为（a，b）在f（x）=lnx图象上， 所以b=lna，所以﹣b=ln，1﹣b=ln，2b=2lna=lna2， 故选：B． 　 5. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：     ①若，，则    ②若，，，则     ③若，，则   ④若，，则     其中正确命题的序号是 (      )   A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 参考答案： A 略 6. 函数f（x）=log2x﹣的一个零点落在下列哪个区间（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理．  【专题】计算题． 【分析】根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，即可得到结论． 解：∵f（1）=﹣1＜0．f（2）=1﹣= ∴f（1）?f（2）＜0． 根据函数的实根存在定理得到函数的一个零点落在（1，2）上 故选B． 【点评】本题主要考查函数零点的判定定理，解题的关键是计算区间的两个端点的函数值，属于基础题． 7. 与直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 设对称直线上的点为，求它关于轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方程. 【详解】设对称直线上的点为， 则其关于轴的对称点在直线上， 所以即，选A. 【点睛】若直线，那么关于轴的对称直线的方程为，关于轴的对称直线的方程为，关于直线对称的直线的方程 . 8. 函数f（x）=+lg（1+3x）的定义域是（　　） A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，）∪（，+∞） C．（，+∞） D．（，）∪（，+∞） 参考答案： B 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】由1﹣2x≠0.1+3x＞0，解不等式即可得到所求定义域． 【解答】解：由1﹣2x≠0.1+3x＞0， 可得x＞﹣，且x≠， 则定义域为（﹣，）∪（，+∞）， 故选：B． 9. 在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=(       ) ． A．30°或150°   B．60°或120°    C．60°    D．30° 参考答案： D 略 10. 不等式≤x﹣1的解集是（　　） A．（﹣∞，﹣1]∪（1，3]B．[﹣1，1）∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，3] 参考答案： B 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】根据x﹣1＞0和x﹣1＜0两种情况分类讨论，能求出不等式≤x﹣1的解集． 【解答】解：∵≤x﹣1， ∴当x﹣1＞0时，（x﹣1）2≥4，解得x≥3； 当x﹣1＜0时，（x﹣1）2≤4，解得﹣1≤x＜1， ∴不等式≤x﹣1的解集是[﹣1，1）∪[3，+∞）． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则的值为           参考答案： 5 12. 当______时，函数有最_______值，且最值是_________。 参考答案：    解析： ，当时， 13. 在平面直角坐标系中，，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点Q的坐标是          ． 参考答案： 将向量按逆时针旋转后得，则   14. 函数的定义域为             . 参考答案： 略 15. 设函数，若用表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为___ __________. 参考答案： 16. 已知为常数，，在区间上的最大值是2，则             参考答案： 1 略 17. 下列说法中： ①在中，若，则； ②已知数列为等差数列，若，则有； ③已知数列、为等比数列，则数列、也为等比数列； ④若，则函数的最大值为； 其中正确的是________________（填正确说法的序号） 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分） 已知为定义在上的奇函数，当时，； （1）求在上的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明． 参考答案： 解：(1)当时,，所以， 又    6分  (2)函数在区间上为单调减函数. 证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， 因为, 所以   即. 所以函数在区间上为单调减函数. 19. 已知函数，其中是常数. （1）若，解关于的不等式； （2）若，自变量满足，且的最小值为，求实数a的值； （3）是否存在实数a，使得函数仅有整数零点？若存在，请求出满足条件的实数a的个数；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解：（1）问题等价于当时，求解不等式， 即：，        ,不等式的解为.…………………………4分     （2）由及，得,………………………5分       ，       若，即时，则在处取最小值        ，因此，.…………………………7分       若，即，则在处取最小值，        因此，（舍去）. …………………………………9分       综上可知.……………………………………………………………10分   （3）设方程有整数根，，且，     ，，……………………………11分     ，，……………………………………………………12分     ，且为整数，     ，………………………………………………………………13分     为36的约数，     可以取，，，，，，………………………14分     实数对可能取值为，，，，      ，，，，，，………15分     的对应值为49，32，27，25，24，-25，-8，-3，-1，0.     于是有10个值能使方程根仅有整数根. ……………………………………16分 20. 已知函数 的图像与直线   有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 ，求证： 参考答案： 21. （10分）对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}． （1）求证：A?B （2）若f（x）=ax2﹣1（a∈R，x∈R），且A=B≠?，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 新定义． 分析： （I）分A=?和A≠?的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明． （II）理解A=B时，它表示方程ax2﹣1=x与方程a（ax2﹣1）2﹣1=x有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值． 解答： 证明：（1）?x∈A，即f（x）=x． 则有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B ∴A?B （2）∵f（x）=ax2﹣1 ∴f[f（x）]=a（ax2﹣1）2﹣1 若f[f（x）]=x，则a（ax2﹣1）2﹣1﹣x=0a（ax2﹣1）2﹣1﹣x=a（ax2﹣1）2﹣ax2+ax2﹣x﹣1=a[（ax2﹣1）2﹣x2]+ax2﹣x﹣1=a（ax2﹣x﹣1）（ax2+x﹣1）+ax2﹣x﹣1=（ax2﹣x﹣1）（a2x2+ax﹣a+1） ∴B={x|（ax2﹣x﹣1）（a2x2+ax﹣a+1）=0}A={x|ax2﹣x﹣1=0} 当a=0时，A={﹣1}，B={﹣1}，A=B≠? ∴a=0符合题意 当a≠0时，当A=B≠?时，方程ax2﹣x﹣1=0有实根；对方程a2x2+ax﹣a+1=0根的情况进行分类讨论： ①若方程a2x2+ax﹣a+1=0有两个不相等的实根，则 此时．此时两个方程没有公共解，集合B中有四个元素．不合题意，舍去． ②若方程a2x2+ax﹣a+1=0有两个相等的实根，则 ∴ 解得．此时方程ax2﹣x﹣1=0的两根分别为；a2x2+ax﹣a+1=0的实根为．验证得：． ③若方程a2x2+ax﹣a+1=0无实根，此时A=B．则 解得：且a≠0． 从而所求a的取值范围为． 点评： 本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想，属中档题． 22. （本小题满分10分）已知，且0<<<． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求． 参考答案：