山西省长治市北铁路职工子弟中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析

山西省长治市北铁路职工子弟中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合A={x|x﹣1＜5}，B={x|﹣4x+8＜0}，则A∩B=（　　） A．{x|x＜6} B．{x|x＞2} C．{x|2＜x＜6} D．φ 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】根据一次不等式解出集合A，集合B，在求交集即可． 【解答】解：集合A={x|x﹣1＜5}={x|x＜6}， 集合B={x|﹣4x+8＜0}={x|x＞2}， 所以A∩B={x|2＜x＜6} 故选C． 【点评】本题考查简单的绝对值不等式和分式不等式，以及集合的运算问题，属基本题． 2. 将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（   ）    A．          B． C．         D． 参考答案： C 略 3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　） A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 参考答案： C 【考点】茎叶图． 【专题】概率与统计． 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可． 【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8； ∴y=8； 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15， ∴x=5． 故选：C． 【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 4. 函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上是单调函数的充分条件是（　　） A．b＞1 B．b＜﹣1 C．b＜0 D．b＞﹣1 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上是单调函数，可得≤0，解得b，进而判断出结论． 【解答】解：∵函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上是单调函数，∴≤0，解得b≥0． ∴函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上是单调函数的充分条件是b＞1． 故选：A． 5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A. 1 B. 2 C. D. 参考答案： D 【分析】 先求出双曲线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，再求焦点到渐近线的距离. 【详解】由题得双曲线的一个焦点坐标为（4,0），渐近线方程为即. 所以焦点到渐近线的距离为. 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.   6. 如果直线与直线平行，则系数（  ） A．          B．        C．           D． 参考答案： B 略 7. 数列的通项公式为，则数列的前项和（   ） A．                   B．                 C．                    D． 参考答案： B 试题分析：由题意得，数列的通项公式为，所以数列的前项和，故选B. 考点：数列的求和. 【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的通项公式及通项公式的裂项、数列的裂项求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把数列的通项公式化简为是解答的关键，属于基础题. 8. 已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A．       B．       C．       D． 参考答案： A 9. 在等差数列{an}中，，，则a1=（   ） A．－1                B．－2            C．1                 D．2 参考答案： D 10. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（　　） A． B．8 C． D．16 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义． 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案． 【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为， 所以点、，从而|PF|=6+2=8 故选B． 【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．[来源:学科网ZXXK] 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是            参考答案： 略 12. 已知直线上有两个点和, 且为一元二次方程 的两个根, 则过点A, B且和直线相切的圆的方程为              . 参考答案： 或 13. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变； ②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变； ④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线； 其中正确的命题编号是　         　． 参考答案： 　①③④ 14. 已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于     . 参考答案： 8 略 15. 已知抛物线上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为         . 参考答案： 易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为.   16. 已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为　　． 参考答案： 【考点】棱柱的结构特征． 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长． 【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°， ∴=， ∴2=（）2 =+2||?||cos60°+2?||cos60°+2?cos60° =1+1+1+++ =6， ∴AC1的长为||=． 故答案为：． 【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 17. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是　_________　（写出所有正确结论的编号）． ①； ②； ③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件； ⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关． 　 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点， （1）求证：面； （2）求三棱锥的体积． 参考答案： （1）取中点，连接，  则为中位线，，…………2分 而正方体，是棱上中点， 故，………………4分 ，所以四边形PQDE为平行四边形。 ，  ……………6分 而面，面， 故……………………………8分 （2）正方体中，BB1面ABE，故为BB1高，BB1=2………10分 …………12分 故………14分 19. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数， （1）请列出X的分布列； （2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 参考答案： （1） X   0   1   2   3   4   P                 （2） 试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望． （2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果． 解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布， 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4． ． ∴所以X的分布列为： X   0   1   2   3   4   P                 （2）由分布列可知至少选3名男生， 即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=． 点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 20. 如图，在四棱锥P - ABCD中，PD⊥底面ABCD，AC和BD交于点O,AB∥DC，，AD⊥CD，E为棱PD上一点. （Ⅰ）求证：CD⊥AE； （Ⅱ）若PB∥面AEC，AD=AB=2，PD=3，求三棱锥E-ADC体积. 参考答案： （1） PD⊥底面ABCD， ABCD      ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分   又 AD⊥CD  ,则 ⊥面．．．．．．．4分 又 PAD  CD⊥AE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由和交于点O，AB∥DC 所以和相似，相似比为1:2.则．．．．．．．．．．．．7分 因为若面 当为的三等分点时，有，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值． 参考答案： 【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由△MNF1的周长为8，得4a=8，由e=，求出c，可求得b；即可求解椭圆方程． （Ⅱ）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kTA+kTB=0，即可证明直线TA与TB的斜率之和为定值． 【解答】解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2． 因为e=，所以c=1，则b=． 所以椭圆C的方程为． （Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0， 当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣