2023年安徽省合肥市三十埠中学高三数学理期末试卷含解析

2023年安徽省合肥市三十埠中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列中，其前项和为，且，，成等差数列，则（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵，，成等差数列， ∴， 当时，，， 当时，， ∴，即， ∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴， ∴．故选． 2. 已知，，，则（       ） A.           B.         C.      D. 参考答案： D 3. 若，则z= A．－1－i B．－1+i C．1－i D．1+i 参考答案： D ．故选D．   4. 已知cos（α﹣β）=﹣，cos（α+β）=，且（α﹣β）∈（，π），（α+β）∈（，2π），则cos2α=（　　） A．﹣1 B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】两角和与差的余弦函数． 【分析】依题意，利用三角函数间的平方关系，可求得sin（α﹣β）与sin（α+β）的值，再利用两角和的余弦即可求得答案． 【解答】解：∵cos（α﹣β）=﹣，α﹣β∈（，π）， ∴sin（α﹣β）==， 又cos（α+β）=，α+β∈（，2π）， 同理可得sin（α+β）==﹣， ∴cos2α=cos[（α﹣β）+（α+β）] =cos（α﹣β）cos（α+β）﹣sin（α﹣β）sin（α+β） =（﹣）×﹣×（﹣）=﹣． 故选：B． 5. （理）若，则 A．    B．    C．     D． 参考答案： C 6. 已知集合 A. {l} B. {l，2} C. {0,1,2,3} D. {－1,0,1,2,3} 参考答案： B 【分析】 先求集合B，再求两个集合交集. 【详解】因为，所以，因为，所以,所以,故选B. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养. 7. （5分）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值是（　　） 　 A． 2 B． 3+2 C． 4 D． 3+ 参考答案： B 【考点】： 基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】： 不等式的解法及应用． 【分析】： 根据向量平行，建立m，n的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论． 解：∵向量=（m，1﹣n），=（1，2）， ∴若∥，则2m﹣（1﹣n）=0， 即2m+n=1， ∴+=（+）（2m+n）=3+， 当且仅当，即n=，即m=1﹣，n=时取等号． 故最小值为3+2， 故选：B． 【点评】： 本题主要考查基本不等式的应用，利用向量平行的坐标公式求出m，n的关系是解决本题的关键． 8. 函数的图象大致为（    ）   参考答案： A 9. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为 A．61 B．31       C．30 D．25 参考答案： B 10. 已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=( )      A.        B.        C.         D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，，，，则的值为______________. 参考答案： 12. 若这10个数据的样本平均数为,方差为0.33,则，这11个数据的方差为________． 参考答案： 0.3 略 13. 已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，1），点N（x，y）的坐标x、y满足不等式组的取值范围是          。 参考答案： 略 14. 若对任意的，均有，则a的取值范围是________。 参考答案： 15. 已知函数f（x）=，不等式f（x）＞3的解集为　　． 参考答案： （1，+∞） 考点： 其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由题意可得x2+2x＞3，且x≥0，由此求得它的解集． 解答： 解：∵函数f（x）=，不等式f（x）＞3，即 x2+2x＞3，且x≥0， 求得它的解集为x＞1， 故答案为：（1，+∞）． 点评： 本题主要考查一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题． 16. 已知数列{an}，若，则数列{an an+1 }的前n项和为________. 参考答案： 因为 所以 两式相减得 所以 设数列的前项和为Sn 则   17. 某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了             人 参考答案： 20 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设，函数。 (Ⅰ)若a＝2，求曲线在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)若函数有两个不同的零点，求a的取值范围。 参考答案： 19. （12分）（2015?邢台模拟）已知函数f （x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=． （I）求函数f （x）的单调区间； （Ⅱ）?x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．  【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出； （Ⅱ）由?x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R． 当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna． 由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）； 由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）． （Ⅱ）∵?x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤． 设h（x）=，则问题转化为a， 由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=． 当x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：   x h′（x） + 0 ﹣ h（x） 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为． ∴． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求cos B的值； （2）若ac=24，求△ABC的周长. 参考答案： 解：（1）因为， 所以 . 在中，因为，所以， 因为，所以， 所以. （2）根据正弦定理，所以， 又，所以，. ，. 所以的周长为15.   21. 已知椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点B（2，0），设点P是椭圆C上任一点，求的取值范围． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设椭圆C的方程为，利用椭圆定义可求2a，进而可求a，结合已知c，利用b2=a2﹣c2可求b，进而可求椭圆方程 （2）先设，利用向量的数量积的坐标表示可求，结合点P在椭圆上及椭圆的性质可求 解答： 解：（1）设椭圆C的方程为…（1分） 由椭圆定义，…（4分） ∴，∵c=1，∴b2=a2﹣c2=1．…（5分） 故所求的椭圆方程为．…（6分） （2）设…（7分） ∴…（9分） ∵点P在椭圆上， ∴…（10分） ∴ ∵…（12分） ∴x=1，有最小值； ，有最大值 ∴， ∴的范围是…（14分） 点评： 本题主要考查了利用椭圆的定义及性质求解椭圆方程及椭圆性质的简单应用． 22. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数． （1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数； （2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式； （3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由． 参考答案： 解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分 又函数的图像关于直线对称，所以 ①         ………………………………………………………2分 又，   用代替得③ ……………………………………………3分 由①②③可知， ．即函数是偶函数；…………………………………………4分 （2）当时， ；……10分 （3）当时， …………………12分 显然时，函数在区间上不是单调函数     …………………13分 又时，是增函数， 此时……………………………………14分 若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有 ，         ………………………………………………………16分 解得 ．         ………………………………………………………18分   略