2022-2023学年湖南省益阳市沅江第七中学高二数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省益阳市沅江第七中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p：直线与直线之间的距离不大于1，命题q：椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x2﹣16y2=144有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（　　） A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∧q 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假． 【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案． 【解答】解：对于命题p， 直线与直线的距离=＞1， 所以命题p为假命题，于是￢p为真命题； 对于命题q， 椭圆2x2+27y2=54与双曲线9x2﹣16y2=144有相同的焦点（±5，0）， 故q为真命题， 从而（￢p）∧q为真命题． p∧（￢q），（￢p）∧（￢q），p∧q为假命题， 故选：B 2. 设全集U是实数集R, 则 A．   B．  C．  D． 参考答案： B 略 3. 设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【专题】数形结合． 【分析】仔细观察图形，正确选取中x的取值范围必须是[0，2]，y的取值范围必须是[1，2]，由此进行选取． 【解答】解：A 和B中y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故A和B都不成立； C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故C不成立； D中，0≤x≤2，1≤y≤2，符合题意， 故选D． 【点评】本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细求解． 4. 一个年级有16个班级，每个班有50名学生，把每个班级的学生都从1到50号编排．为了交流学习经验，要求每班编号为14的学生留下进行交流．这里运用的是（     ）． A.分层抽样     B.抽签法     C.随机数表法    D.系统抽样 参考答案： D 5. 已知双曲线的离心率e=，其焦点在y轴上，若双曲线的实轴长为4，则双曲线的标准方程为（　　） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据条件建立方程求出a，b的值即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线的实轴长为4，∴2a=4，得a=2， ∵离心率e=，∴，即c=2， 则b2=c2﹣a2=8﹣4=4， ∵双曲线的焦点在y轴上， ∴双曲线的标准方程为﹣=1， 故选：A． 6. 已知函数，若实数是方程的解，且，则 的值(    ) A．恒为负        B．等于零         C．恒为正        D．不大于零 参考答案： C 由于，所以.在上是减函数，是增函数，所以 在上是减函数， 所以，故选C； 7. 在集合{x|mx2+2x+1=0}的元素中，有且仅有一个元素是负数的充要条件（　　） A．m≤1 B．m＜0或m=1 C．m＜1 D．m≤0或m=1 参考答案： D 【考点】充要条件． 【分析】若方程为一元一次方程 即m=0时，解得x=﹣符合题目要求；若方程为一元二次方程时，方程有解，△=4﹣4a≥0，解得 m≤1．设方程两个根为 x1，x2，x1?x2=＜0，得到 m＜0．验证当m=1时 方程为 x2+2x+1=0，解得x=﹣1，符合题目要求． 【解答】解：若方程为一元一次方程 即m=0时， 解得x=﹣，符合题目要求； 若方程为一元二次方程，即m≠0时， 方程有解，△=4﹣4a≥0，解得 m≤1， 设方程两个根为 x1，x2， x1?x2=＜0，得到 m＜0． 验证： 当m=1时 方程为 x2+2x+1=0，解得x=﹣1，符合题目要求． 综上所述，m≤0或m=1． 故选D． 8. 若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理出错在（   ） A. 大前提 B. 小前提 C. 推理过程 D. 没有出错 参考答案： A 试题分析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误，故选A． 考点：演绎推理的“三段论”． 9. 抛物线的准线方程是（   ） A．     B．     C．      D．   参考答案： D 略 10. 以下四组向量： ①,； ②,； ③,； ④, 其中互相平行的是. A． ②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知平面 （1）         当条件______成立时，有  当条件_______成立时，有（填所选条件的序号） 参考答案： （3）（5）,（2）（5） 略 12. (坐标系与参数方程)直线被曲线(为参数)所截得的弦长为_________. 参考答案： 略 13. 如果函数，那么函数的最大值等于   ▲   ． 参考答案： 3  14. 已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________. 参考答案： 3 15. 设等差数列的前n项和为,若,则        参考答案： 2n 根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列的前n项和为,若,，故可知数列2n，故答案为2n。 16. 已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的逆命题是        ． 参考答案： “若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3” 【考点】四种命题间的逆否关系． 【专题】对应思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出逆命题即可． 【解答】解：命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的逆命题是： “若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3”． 故答案为：“若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3”． 【点评】本题考查了命题与它的逆命题的应用问题，是基础题目． 17. AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为    ． 参考答案： 【考点】抛物线的标准方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y=x2的准线方程为y=﹣，利用抛物线的定义可得|AB|≤y1+y2+，由弦AB的中点到x轴的距离是1，即可得出结论． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线y=x2的准线方程为y=﹣， ∴|AB|≤y1+y2+， ∵弦AB的中点到x轴的距离是1， ∴y1+y2=2， ∴|AB|≤． 故答案为：． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线与直线的位置关系，正确运用抛物线的定义． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求过圆的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程． 参考答案： 【考点】Q6：极坐标刻画点的位置． 【分析】利用两角差的正弦函数化圆的为ρ=sinθ﹣cosθ，然后两边同乘ρ，即可化简为直角坐标方程，求出圆心，然后求出过圆的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程． 【解答】解：圆=sinθ﹣cosθ，所以ρ2=ρsinθ﹣ρcosθ，所以它的直角坐标方程为：x2+y2=y﹣x 它的圆心坐标（﹣，），过（﹣，）与极轴垂直的直线方程：x=﹣， 它的极坐标方程：ρcosθ=﹣ 【点评】本题是基础题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，是送分题． 19. 已知函数其中在中，分别是角的对边，且． （1）求角Ａ； （2）若，，求的面积． 参考答案： 解：（1）                  =                  =           因为  ，  所以  2  即或，             也即（舍）或。 （2）由余弦定理得，整理得分      联立方程      解得    或。 所以 。 略 20. 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 参考答案： (1)，函数的定义域为. 当时，，则在上单调递增， 当时，令，则或(舍负)， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， ∴当时，的单调递增区间为，无减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)解法一：由得， ∵， ∴原命题等价于在上恒成立， 令， 则， 令，则在上单调递增， 由，， ∴存在唯一，使，. ∴当时，，为增函数， 当时，，为减函数， ∴时，， ∴， 又，则， 由，所以. 故整数的最小值为2. 解法二：得， ， 令， ， ①时，，在上单调递减， ∵，∴该情况不成立. ②时， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴， 恒成立， 即. 令，显然为单调递减函数. 由，且，， ∴当时，恒有成立， 故整数的最小值为2. 综合①②可得，整数的最小值为2. 21. 已知函数，. （I）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数； （II）若函数有且仅有一个零点，求a的值； （III）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围. 参考答案： （I）详见解析；（II）；（III） 【分析】 （I）利用导函数求出函数在点，（1）处的切线方程，和函数联立后由判别式分析求解公共点个数； （II）写出函数表达式，由得到，求函数的最小值既是所要求的的值； （III）写出函数的表达式，构造辅助函数，由原函数的极值点是其导函数的零点分析导函数对应方程根的情况，分离参数后构造新的辅助函数，求函数的最小值，然后分析当大于函数最小值的情况，进一步求出当时的的值，则答案可求． 【详解】解：（I）由，得， （1），又（1）， 曲线在点，（1）处的切线方程为， 代入，得， 当或时，△，有两个公共点； 当或时，△，有一个公共点； 当时，△，没有公共点． （II）， 由，得， 令，， 在上递减，在上递增， 因此，（1）． （III）， 令， ， 即有两个不同的根，， 令， 且当时，随增大而增大； 当时， ， ， 此时． 即时， ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点的求法，考查了利用导数求函数的最值，充分利用了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目． 22. 设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值． （I）求?的值，并化简f（x）； （Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C． 参考答案： 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理． 【分析】（I）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用诱导公式求得φ的值，可得函数的解析式． （II）由条件求得A，再利用正弦定理求得sinB的值，可得B，再利用三角形内角和公式求得C的值． 【解答】解：（I）∵=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx =sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ）， 因为函数f （x）在x=π处取最小值，所以sin（π+φ）=﹣1， 由诱导公式知sinφ=1，因为0＜φ＜π，所以，所以． （II）因为，所以，因为角A为△ABC的内角，所以． 又因为，所以由正弦定理