2023年上海华师大一附中高二数学文模拟试题含解析

2023年上海华师大一附中高二数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（   ） A.     B.       C.       D. 参考答案： D 略 2. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（  ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 参考答案： C 【分析】 根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 3. 已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　） A．55　　　　  B．70　　　　　C．85　　　　　D．100 参考答案： C 4. 某几何体三视图如图所示，则在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（   ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 参考答案： B 【分析】 由三视图知，该几何体是高为4的四棱锥，观察并计算出最小面的面积即可． 【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的高为4的四棱锥， 由三视图的数据可知：的面积为1×4＝2，的面积为4×4＝8， 的底边BC=AB，但高大于的高EA，∴>， 又底面梯形面积为>1×4＝2＝， ∴面积最小的面为，其面积为1×4＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体三视图的还原问题，也考查了空间想象能力，是基础题目． 5. 已知随机变量X～B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=(　 　). A.-1.88 B.-2.88         C.5.76 D.6.76 参考答案： C 由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76. 6. 下列结论正确的是(      )      ①“a=1”是“直线与直线互相垂直”的充要条件      ②函数最小正周期为,且图像关于直线对称      ③线性回归直线至少经过样本点中的一个      ④≥0的否定是      A．②            B．②④      C．①②③      D．①②④ 参考答案： A 利用排除法：首先由选项知道②必然正确。容易知道①显然错误，排除C、D 选项，而④显然错误，因此选A    说明：③是本题的一个疑惑点，希望此题的考察引师生对概念教学的关注。本题若把各选项改为A．②   B. ②④      C. ②③      D. ②③④，显然会增加学生答题的错误率. 7. 下列命题中不正确命题的个数是（    ）   ⑴ 三点确定一个平面； ⑵ 若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在同一平面内； ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内；⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 A．0          B．1          C．2             D．3 参考答案： A 8. 已知命题，则为 A．               B．  C．             D． 参考答案： C 分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。 详解：，故选C   9. 将等差数列1，4，7…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是（　　） A．571 B．574 C．577 D．580 参考答案： C 【考点】归纳推理． 【分析】设各行的首项组成数列{an}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，an﹣an﹣1=3（n﹣1），叠加可得：an=+1，由此可求数阵中第20行从左至右的第3个数． 【解答】解：设各行的首项组成数列{an}，则a2﹣a1=3，a3﹣a2=6，…，an﹣an﹣1=3（n﹣1） 叠加可得：an﹣a1=3+6+…+3（n﹣1）=， ∴an=+1 ∴a20=+1=571 ∴数阵中第20行从左至右的第3个数是577． 故选：C． 10. 欲证，只需证（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】R8：综合法与分析法(选修）． 【分析】原不等式等价于＜，故只需证，由此得到结论． 【解答】解：欲证，只需证＜，只需证， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把命题“?x∈R，x2≤0”的否定写在横线上          ． 参考答案： ?x∈R，x2＞0 考点：命题的否定． 专题：简易逻辑． 分析：直接利用特称命题是否定是全称命题写出结果即可． 解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x∈R，x2≤0”的否定是：“?x∈R，x2＞0”． 故答案为：?x∈R，x2＞0． 点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 12. 轴截面是边长等于2的边长三角形的圆锥，它的表面积等于_ ▲_____ 参考答案： 13. 直线l经过点P（5，5），且与圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为4，则l的方程是        ． 参考答案： 2x﹣y﹣5=0，或x﹣2y+5=0 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】用点斜式设出直线的方程，由条件根据弦长公式求得弦心距；再利用点到直线的距离公式求出弦心距，求得k的值，可得直线的方程． 【解答】解：由题意可得，直线的斜率存在，设为k，则直线的方程为y﹣5=k（x﹣5），即 kx﹣y+5﹣5k=0． 再根据弦长公式求得弦心距为=． 再利用点到直线的距离公式可得=，求得k=2，或 k=， 故l的方程是 2x﹣y﹣5=0，或x﹣y+=0． 故答案为：2x﹣y﹣5=0，或x﹣2y+5=0． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题． 14. 已知圆C:(x+1)2+ y2 =16及点A（1，0），Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线交C Q于M则点M的轨迹方程为_________. 参考答案： 略 15. 已知某等差数列共10项，其中奇数项的和为15，偶数项的和是30，则该数列的公差是    参考答案： 3 16. 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x>0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________． 参考答案： 2 略 17. 不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （2，+∞） 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答． 【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立， 即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立 若a+2=0，显然不成立 若a+2≠0，则解得a＞2． 综上，a＞2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 等比数列中，已知， （1）求数列的通项公式; （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和. 参考答案： 略 19. 已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用切线方程斜率关系求出a，然后求解切线方程． （Ⅱ）解1：通过函数的导数与函数的单调性关系求出函数的极大值，即可得到a的范围． 解2：当a≥0时，验证不符题意，当a＜0时，通过函数的导数与单调性的关系，求出f（x）的最大值然后求解a的取值范围． 【解答】（本小题12分） （Ⅰ）解：，x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为f（1）=1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）解1：若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，即成立．﹣﹣﹣ 设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，令g'（x）=0，解得x=e2， 则g'（x），g（x）的情况如下：       x （0，e2） e2 （e2+∞） g'（x） ﹣ 0 + g（x） ↘ 极大值 ↗ 所以g（x）的最小值为g（e2）=﹣e﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以，依题意只需实数a满足a≤﹣e﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解2：当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞） 又因为，所以不符题意，舍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当a＜0时，令f'（x）=0，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以f'（x），f（x）随x的变化如下表所示： x f'（x） + 0 ﹣ f（x） ↗   ↘ 所以f（x）的最大值为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以，依题意只需即可，解得a≤﹣e﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. 设函数，其中 （1）           若，求的单调增区间； （2）          如果函数在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围； （3）          令，求证：对任意的，不等式恒成立. 参考答案： 略 21. （本小题满分12分）已知二次函数的图象经（0，0），（1，2），（-1，-4）三点， （1）求该二次函数的解析式和最值； （2）已知函数在（t-1，+∞）上为减函数，求实数t的取值范围． 参考答案： 设这个二次函数的解析式是y=ax+bx+c（a≠0），把（0，0），（1，1），（-1，-4）代入得： c＝0     a+b+c＝1       a?b+c＝?3   ， 解之得 a＝?1 b＝2 c＝0   ； 所以该函数的解析式为：y=-x+2x． 因为， 当x=1时函数值最大值为1，无最小值；………………………………8分 (2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上是减的，∴t－1≥1.∴t≥2. …………… 12分 22. （本小题满分12分）已知关于x 的不等式的解集为A，且. （1）求实数a的取值范围； （2）求集合A. 参考答案： （1）∵，∴，=，……2分 即，解得， ∴a的取值范围是.……………………………………………………………4分 （2）由（1）知a-2<0，故不等式可化为，………………6分