2022-2023学年福建省漳州市吴川第二中学高三数学文期末试卷含解析

2022-2023学年福建省漳州市吴川第二中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 执行如图的程序框图，则输出的值为 A. 2016           B. 2        C.              D. 参考答案： B 2. 函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则a的值为（    ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 参考答案： A 【分析】 求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】， 若，， 在单调递增，且， 在不存在零点； 若，， 在内有且只有一个零点， . 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题. 3. “”是“”的（　　）条件 　 A .充分不必要    B .必要不充分    C.充分条件    D.不充分不必要 参考答案： A 略 4. 下列命题中真命题的个数为（  ） ①,使得.    ②锐角中，恒有. ③,不等式成立的充要条件为： A.                  B.                C.                    D. 参考答案： B 5. 设（其中e为自然对数的底数），则的值为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 定积分．. 专题： 计算题． 分析： 因为f（x）为分段函数，分别在各区间对f（x）积分，相加可得所求的值． 解答： 解：∫0ef（x）dx=∫01x2dx+∫1edx=x3|01+lnx|1e=﹣0+lne﹣ln1=+1=． 故选A 点评： 本题为基础题，要求学生会进行积分运算．做题时学生应注意f（x）是分段函数，所以要分两部分积分． 　 6. 函数的最小正周期是（   ）                    参考答案： B   7. 已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是：（   ） A．                B．         C．       D． 参考答案： B 考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．   8. ，则 (   ） A．        B．  C． D． 参考答案： C 9. 已知点在角的终边上，则的值为(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 10. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是的离心率e等于                     （   ） A．             B．          C．           D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为 ． 参考答案： 略 12. 复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣1）i的对应点在虚轴上，则实数a的值是　    　． 参考答案： 0或2． 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】由题意可得：a2﹣2a=0，解出即可得出． 【解答】解：复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣1）i的对应点在虚轴上，则a2﹣2a=0，解得a=0或2． 故答案为：0或2． 【点评】本题考查了复数的几何意义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13. 在中，过中线中点任作一直线分别交，于，两点，设，（），则的最小值是  ▲      参考答案： 略 14. 已知是双曲线的右焦点的右焦点,点分别在其两条渐进线上，且满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________. 参考答案： 15. 已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为          . 参考答案： 因为不等式的解集为，即是方程的两个根，即，所以，即，解得。 16. 体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有________种。 参考答案： 10    17. 已知函数的图像关于直线对称，则的值是            . 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且. （Ⅰ）当时，证明：直线∥平面; （Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案： 几何方法 （Ⅰ）证明：如图1，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1. 当λ=1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1 所以BC1∥FP. 而FP平面EFPQ, 且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.        图1               图2                 图3 （Ⅱ）如图2，连接BD. 因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF=BD. 又DP=BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ=BD， 从而EF∥PQ，且EF=PQ. 在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ=DP=λ，BE=DF=1， 于是EQ=FP=，所以四边形EFPQ是等腰梯形. 同理可证四边形PQMN是等腰梯形. 分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG， 则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO=O， 故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角. 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH=90°. 连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形. 连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH=ME=2. 在△GOH中，GH2=4，OH2=, OG2=, 由OG2+OH2=GH2，得，解得， 故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.   向量方法： 以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图3所示的空间 直角坐标系D—xyz. 由已知得 B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ) =(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0) （Ⅰ）证明：当λ=1时，=(-1，0，1)， 因为=(-2，0，2)，所以=2，即BC1∥FP. 而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ. （Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为n=(x，y，z)，则 由 可得于是可取n=(λ，-λ，1). 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2，2-λ，1) 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角， 则m·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0，即λ(λ-2)- λ(2-λ)+1=0， 解得. 故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角. 19. （本小题满分13分） 已知椭圆的离心率，直线经过椭圆C的左焦点. （I）求椭圆C的方程； （II）若过点的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围. 参考答案： ∵点在椭圆上，∴， ∴  …………………………………………………………………11分 ， ∴的取值范围是为.    …………………………13分 20. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：，且 是的等差中项. (Ⅰ)  求数列的通项公式；(Ⅱ)  若，，求使成立的正整数的最小值. 参考答案： 【知识点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和． 【答案解析】(Ⅰ)  (Ⅱ) 6 解析 ：解：(Ⅰ)设等比数列的首项为，公比为 依题意，有，代入， 可得，， 解之得 或又数列单调递增，     ，，   数列的通项公式为                  …………………6分    (Ⅱ)  ，，     ， 两式相减，得 即，即   从而 故正整数的最小值为6. 使成立的正整数的最小值为6.  …………………12分  【思路点拨】（I）由题意，得，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）结合已知可得数列{bn}的前项和Sn=2n+1-2-n?2n+1，使成立的正整数n的最小值． 21. 已知函数     （I）求函数的最小正周期；     （Ⅱ）求使函数取得最大值的的集合． 参考答案： (Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)            = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1            =2sin[2(x－)－]+1            = 2sin(2x－) +1  ∴ T==π   (Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1, 有  2x－ =2kπ+ 即x=kπ+    (k∈Z)  ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ,  (k∈Z)}.   22. 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4． （1）求a+b+c的值； （2）求a2+b2+c2的最小值． 参考答案： 【考点】一般形式的柯西不等式． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值． 【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c， 当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立， 又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b， 所以f（x）的最小值为a+b+c， 所以a+b+c=4； （2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得， （a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16， 即a2+b2+c2≥ 当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立． 所以a2+b2+c2的最小值为． 【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．