2022-2023学年福建省厦门市乌石埔中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年福建省厦门市乌石埔中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若和分别是的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是   A.                    B.  C.                    D. 参考答案： C 略 2. 已知，设，且，则的取值范围是…（  ▲  ） A．    B．    C．         D． 参考答案： D 略 3. 已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（   ） A    B   C    D 参考答案： D 4. 已知sin(45°＋α)＝，则sin2α等于(　　) A．－       B．－      C.             D. 参考答案： B 5. 若函数，则的值为  （　 　） A．5           B．－1　　　　　　　C．－7            D．2 参考答案： D 6. 函数y=10lg（x﹣1）的图象相同的函数是(     ) A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1| C． D． 参考答案： C 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】计算题． 【分析】欲寻找与函数y=10lg（x﹣1）有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=10lg（x﹣1）是不是定义域与解析式都相同即可． 【解答】解：函数y=10lg（x﹣1）的定义域为{x|x＞1}，且y=x﹣1 对于A，它的定义域为R，故错； 对于B，它的定义域为R，故错； 对于C，它的定义域为{x|x＞1}，解析式也相同，故正确； 对于D，它的定义域为{x|x≠﹣1}，故错； 故选C． 【点评】本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等以及对数恒等式的应用，属于基础题． 7. 设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（　　） A．4 B． C．9 D．16 参考答案： D 【考点】7F：基本不等式． 【分析】本题基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于xy的不等式，解出最小值． 【解答】解：由，可化为xy=8+x+y， ∵x，y均为正实数， ∴xy=8+x+y（当且仅当x=y等号成立） 即xy﹣2﹣8≥0， 可解得≥4， 即xy≥16 故xy的最小值为16． 故应选D． 【点评】解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式来构造一个新的不等式． 8. （5分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（） A． f（3）＜f（2）＜f（4） B． f（1）＜f（2）＜f（3） C． f（2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（0） 参考答案： D 考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数单调性的等价条件，即可到底结论． 解答： 若对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0， 则函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递减， 则f（3）＜f（1）＜f（0）， 故选：D． 点评： 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数单调性的等价条件是解决本题的关键． 9. 设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线x=对称 B．f（x）的图象关于点（，0）对称 C．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数 D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】通过x=函数是否取得最值判断A的正误；通过x=，函数值是否为0，判断B的正误；利用函数的周期与单调性判断C的正误；利用函数的图象的平移判断D的正误． 【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=，不是函数的最值，判断A的错误； 对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1≠0，判断B的错误； 对于C，f（x）的最小正周期为π，由，可得，k∈Z，在[0，]上为增函数，∴选项C的正确； 对于D，把f（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=sin（2x+），函数不是偶函数，∴选项D不正确． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、奇偶性、周期性，基本知识的考查． 10. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（  ） （A）或5    （B）或5      （C）        （D）   参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是增函数，则使得的x取值范围是         参考答案： ∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴不等式f（x）＜f（2）等价于f（x）＜f（-2） ①当x≤0时，由于f（x）在（-∞，0]上是增函数，可得f（x）＜f（-2）即x＜-2； ②当x＞0时，f（x）＜f（-2）可化为f（-x）＜f（-2），类似于①可得-x＜-2，即x＞2 综上所述，得使得f（x）＜f（2）的x取值范围是x＜-2或x＞2 故填写 12. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为__________． 参考答案： [－1,3] 若命题“，使得”是假命题， 则对，都有， ∴， 即， 解得， 即实数的取值范围为[－1,3]． 13. 函数的定义域为___________ 参考答案： 14. 已知A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，则Z+∩A的真子集的个数是 　　个． 参考答案： 7 【考点】子集与真子集． 【专题】综合题． 【分析】先根据集合A中的范围及x属于整数，得到集合A中的元素，然后确定出Z+∩A中的元素，求出Z+∩A的真子集的个数即可． 【解答】解：由集合A={x|﹣2＜x＜4，x∈Z}，得到集合A={﹣1，0，1，2，3}， 所以Z+∩A={1，2，3}， 则Z+∩A的真子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，?共7个． 故答案为：7 【点评】此题考查了交集的求法，会根据集合中元素的个数求出集合的真子集，是一道综合题． 15. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________。 参考答案： 16. 函数的定义域为___________. 参考答案： 17. 已知关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是   . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数（x+a）的图象上． （1）求实数a的值； （2）当方程|g（x+2）﹣2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围； （3）设an=g（n+2），bn=，求证：b1+b2+b3+…+bn＜（n∈N*）． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）根据函数g（x）的图象过定点A，代入函数解析式求出a的值即可； （2）画出函数y=|2x﹣1|和y=2b的图象，结合图形即可得出b的取值范围； （3）根据题意写出an、bn的通项公式，利用裂项法求b1+b2+b3+…+bn即可． 【解答】解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，A点的坐标为（2，2）；…2分 又因为A点在f（x）上，则 ， 即2+a=3， ∴a=1；…4分 （2）|g（x+2）﹣2|=2b， 即|2x+1﹣2|=2b， ∴|2x﹣1|=2b；…6分 画出y=|2x﹣1|和y=2b的图象，如图所示； 由图象可知：0＜2b＜1， 故b的取值范围为；…8分 （3）根据题意，得an=2n+1， bn==﹣；…10分 ∴b1+b2+b3+…+bn=﹣+﹣+﹣+…+﹣ =﹣＜．…12分 19. 设向量=（1，4cosx），=（4sinx，1），x∈R． （1）若x∈（，π），且||=，求sin（x+），cos2x，tan2x的值； （2）设函数f（x）=?，求f（x）在[0，π]上的值域． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用． 【分析】（1）运用向量的模的公式，结合同角的基本关系式，以及两角和的正弦公式、二倍角公式计算即可得到所求值； （2）运用向量的数量积的坐标表示，以及两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得最值，进而得到值域． 【解答】解：（1）向量=（1，4cosx），且||=， 可得1+16cos2x=2，解得cosx=﹣（舍去）， sinx==，tanx==﹣， 则sin（x+）=sinxcos+cosxsin=（﹣）=； cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣； tan2x===； （2）函数f（x）=?=4sinx+4cosx =8（sinx+cosx）=8sin（x+）， 由x∈[0，π]，可得x+∈[，]， 当x=时，f（x）取得最大值8， 当x=π时，f（x）取得最小值﹣4． 即有f（x）的值域为[﹣4，8]． 【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查两角和差公式及二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质的运用，属于中档题． 20. 已知，， ，求的值． 参考答案：   略 21. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x﹣x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元． （1）求y（万元）与x（件）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 （2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？（年利润=年销售总收入﹣年总投资）． 参考答案： 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据已知，分当x≤20时和当x＞20时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案； （2）根据（1）中函数的解析式，分类求出各段上的最大值点和最大值，综合可得答案． 解：（1）当0＜x≤20时，y=（33x﹣x2）﹣x﹣100=﹣x2+32x﹣100；… 当x＞20时，y=260﹣100﹣x=160﹣x．… 故y=（x∈N*）．… （2）当0＜x≤20时，y=﹣x2+32x﹣100=﹣（x﹣16）2+156， x=16时，ymax=156．… 而当x＞20时，160﹣x＜140，故x=16时取得最大年利润． … 【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，分段函数的应用，难度中档． 22. （本小题满分12分）为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药薰消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与t时间（小时）成正比，药物释放完毕后，y与t之间的函数关系式为 （a为常数）如下图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题．   ( I)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式． (Ⅱ)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过多少小时后，学生才可能回到教室． 参考答案： （Ⅰ）当时，设， 图象过点，从而----------------------2分 又的图象过点