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2022年江西省九江市水源中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象可能是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
D
当时,函数单调递增,且时,,
故,错误;
当时,函数单调递减,且时,,
故错误,正确.
综上,故选.
2. 若m>n,则( )
A.0.2m<0.2n B.log0.3m>log0.3n
C.2m<2n D.m2>n2
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性,进行判断即可.
【解答】解:∵y=0.2x为减函数,∴若m>n,则0.2m<0.2n正确,
∵y=log0.3x为减函数,∴若m>n,则log0.3m<log0.3n,或对数函数不存在,错误
∵y=2x为增函数,∴若m>n,则2m>2n,错误
当m=1,n=﹣1时,满足m>n,但m2>n2不成立,
故选:A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键.比较基础.
3. 在中,角所对应的边分别为,则是的
充分必要条件 充分非必要条件
必要非充分条件 非充分非必要条件
参考答案:
A
4. 一个等差数列的第5项等于10,前3项和等于3,那么它的首项与公差分别是( )
A.﹣2,3 B.2,﹣3 C.﹣3,2 D.3,﹣2
参考答案:
A
【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.
【分析】设首项与公差分别为a1,d,由题意可得关于a1和d的方程组,解方程组可得.
【解答】解:设首项与公差分别为a1,d,
由题意可得a1+4d=10,3a1+d=3,
解得a1=﹣2,d=3,
故选A
5. 函数f(x)=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是( )
A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】将选项中各区间两端点值代入f(x),满足f(a)?f(b)<0(a,b为区间两端点)的为答案.
【解答】解:因为f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上,
故选C.
6. 已知且若恒成立,则的范围是
参考答案:
[-3,3]
略
7. 已知函数,关于函数f(x)的性质给出下面三个判断:
①函数f(x)是周期函数,最小正周期为2π;
②函数f(x)的值域为[-1,1];
③函数f(x)在区间上单调递增.
其中判断正确的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
参考答案:
C
【分析】
画出函数的图象,结合图象分析函数的周期性,单调性和值域,即可得到结论.
【详解】由函数,
画出函数的图象,如图所示:
函数是周期函数,最小正周期为,故①正确.
函数的值域为,故②错误.
函数在区间上单调递减.,在区间上单调递增,故③错误.
故选:C
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,还考查了数形结合思想和理解辨析的能力,属于中档题.
8. 下列式子中成立的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
9. 飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10000米,到达B处,此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的距离为
A.5000米 B.5000 米 C.4000米 D.米
参考答案:
略
10. ( )
A.11 B. 7 C. 0 D.6
参考答案:
B
,故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三角形的两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是________.
参考答案:
12. 函数y =的值域是 。
参考答案:
[ 0,1 ]
13. 定义:区间的长度为,已知函数定义域为
,值域为[0,2],则区间的长度的最大值为
参考答案:
略
14. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,各条棱长都等于2,下底面ABC在水平面上保持不动,在侧棱与底面所成的角保持为60°的情况下,上底面A1B1C1还是可以移动的,则△A1B1C1在下底面ABC所在平面上竖直投影所扫过的区域的面积为 .
参考答案:
∵三棱柱中,各棱长都等于2,
当下底面在水平面上保持不动,且侧棱与底面所成的角为时,
在下底面所在平面上的竖直投影所扫过的区域如下图所示.
由图可知该区域有一个边长为2的正三角形,三个两边长分别为2,1的矩形,
和三个半径为1,圆心角为的扇形组成,
其面积.
15. 已知函数,,对任意的,总存在,使得,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[0,1]
由条件可知函数的值域是函数值域的子集,
当时,,当时, ,
所以 ,解得,故填:.
16. 设集合,则的非空真子集的个数为 *** .
参考答案:
14
17. 已知在定义域上是减函数,且,则的取值范围是_______----------__
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知集合,若,求实数的值及。
参考答案:
,.
略
19. (本小题15分)已知数列,其中的前项和为,且为方程的两实根.
(I)求的通项公式;
(II)求的前项和;
(III)是否存在正实数使对任意的恒成立?若存在,请求出的范围;若不存在,说明理由.
参考答案:
略
20. (10分)已知向量=(﹣1,2),=(1,1),t∈R.
(1)求向量与夹角的余弦值;
(2)求|+t|的最小值及相应的t值.
参考答案:
考点: 数量积表示两个向量的夹角.
专题: 平面向量及应用.
分析: (1)利用向量的数量积变形公式解答;
(2)将|+t|表示为t的式子,利用二次函数求最值.
解答: 解:(1)设向量与夹角为θ,则cosθ=;
(2)|+t|=,当t=﹣时,|+t|的最小值为.
点评: 本题考查了向量的数量积的坐标运算以及模的最值的求法,关键是熟练运用数量积公式解答.
21. 已知全集U=R,,B={x|log3x≤2}.
(Ⅰ)求A∩B;
(Ⅱ)求?U(A∪B).
参考答案:
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】(1)求解指数不等式和对数不等式化简集合A,B,然后直接利用交集概念求解;
(2)直接利用补集运算求解.
【解答】解:(Ⅰ) ={x|﹣1<x<2},
B={x|log3x≤2}={x|0<x≤9,
所以A∩B={x|0<x<2};
(Ⅱ)A∪B={x|﹣1<x≤9},
CU(A∪B)={x|x≤﹣1或x>9.
【点评】本题考查了角、并、补集的混合运算,考查了指数不等式和对数不等式的解法,是基础题.
22. (本小题满分14分)已知函数,,且对恒成立.
(1)求a、b的值;
(2)若对,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
(3)记,那么当时,是否存在区间(),使得函数在区间上的值域恰好为?若存在,请求出区间;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)由得或.于是,当或时,得
∴∴此时,,
对恒成立,满足条件.故.
(2)∵对恒成立,∴对恒成立.
记.∵,∴,
∴由对勾函数在上的图象知当,即时,,∴.
(3)∵,∴,∴,又∵,∴,∴,∴在上是单调增函数,
∴即即 ∵,且,
故:当时,;
当时,;当时,不存在.
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