2022-2023学年福建省莆田市郊尾中学高二数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年福建省莆田市郊尾中学高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知P为△ABC所在平面α外一点，侧面PAB、PAC、PBC与底面ABC所成的二面角都相等，则P点在平面α内的射影一定是△ABC的(     ) A．内心           B．外心           C．垂心         D．重心 参考答案： A 2. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　） 　 A．        B． 5               C．         D． 参考答案： D 3. 是虚数单位，则复数的虚部等于（　　）  A．1     B．       C．     D． 参考答案： A 略 4. 平面内有两个定点F1（﹣5，0）和F2（5，0），动点P满足条件|PF1|﹣|PF2|=6，则动点P的轨迹方程是（　　） A．﹣=1（x≤﹣4） B．﹣=1（x≤﹣3） C．﹣=1（x＞≥4） D．﹣=1（x≥3） 参考答案： D 【考点】双曲线的定义；双曲线的标准方程． 【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹的方程即可． 【解答】解：由|PF1|﹣|PF2|=6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线右支， 得c=5，2a=6， ∴a=3， ∴b2=16， 故动点P的轨迹方程是﹣=1（x≥3）． 故选D． 5. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则（　　） A．?p：?x∈R，sinx≥1 B．?p：?x∈R，sinx≥1 C．?p：?x∈R，sinx＞1 D．?p：?x∈R，sinx＞1 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【分析】根据?p是对p的否定，故有：?x∈R，sinx＞1．从而得到答案． 【解答】解：∵?p是对p的否定∴?p：?x∈R，sinx＞1 故选C． 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题． 6. 的值是（    ） A．          B．      C．      D． 参考答案： C 7. 已知向量，满足||=3，||=2，且⊥（），则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】平面向量及应用． 【分析】设与的夹角为θ，根据⊥（），则有（）=0，利用向量的运算性质，即可求出cosθ=﹣，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案． 【解答】解：设与的夹角为θ， ∵⊥（），则（）=0， ∴||2+=0，即||2+||||cosθ=0， 又∵||=3，||=2， ∴32+3×2cosθ=0，则cosθ=﹣， 又∵θ∈[0，π]， ∴θ=， 故与的夹角为． 故选：D． 【点评】本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系．根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为[0，π]，其中夹角为0时，两向量同向，夹角为π时，两向量反向．两个向量互相垂直，则其数量积为0．属于中档题． 8. 若双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由正方形的对称性得，其对称中心在原点，且在第一象限的顶点坐标为（x，x），从而得到双曲线渐近线的斜率k=＞1，由此能求出双曲线离心率的取值范围． 【解答】解：∵双曲线M上存在四个点A，B，C，D，使得四边形ABCD是正方形， ∴由正方形的对称性得，其对称中心在原点， 且在第一象限的顶点坐标为（x，x）， ∴双曲线渐近线的斜率k=＞1， ∴双曲线离心率e=＞． ∴双曲线M的离心率的取值范围是（，+∞）． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的离心率的取值的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用． 9. 直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．s 参考答案： A 10. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为(    ) A．         B．       C.         D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离为　  　． 参考答案： 2 【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质． 【分析】先求出抛物线y2=16x的焦点，再求出双曲线的渐进线，由此利用点到直线的距离公式能求出抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离． 【解答】解：抛物线y2=16x的焦点（4，0）， 双曲线的渐进线：， ∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线渐近线的距离为： d=． 故答案为：2． 12. 中，三边长分别为，则       。 参考答案： 13. 已知，当且仅当     时，取得最小值为     . 参考答案： 2;4 试题分析：，当且仅当时等号成立，即，所以当时，取得最小值为4. 考点：基本不等式求最值 14. 设规定两向量之间的一个运算“”为：，若已知则= _____________. 参考答案： -2,1 15. 不等式的解集为，则实数的取值范围是             参考答案： 16. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ． 参考答案： 17. 已知，若，则的最大值为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上． （1）求； （2）a为何值时与夹角为． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上求得； （2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出，与（1）中的结合得到关于a的方程，求解方程得答案． 【解答】解：（1）∵x1、x2是方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根， ∴△=4a2﹣8（a2﹣4）＞0，解得：， 且x1+x2=a，， 又∵A、B两点都在直线y=﹣x+a上， ∴y1y2=（﹣x1+a）（﹣x2+a）==， ∴=； （2）求解方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0，得，， ∴，同理y2=x1， ∴==． 当与夹角为时，， ∴a2﹣4=2，解得：． ∴． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了灵活变形能力，是中档题． 19. 已知圆C的方程是，直线的方程是. （1）判断该圆与直线的位置关系； （2）求圆上的点到直线距离的最大值和最小值。 参考答案： 解析：（1）圆C的方程是，即，             圆心（2，2）到直线的距离，             所以 圆C与直线相离 （2）由（1）可知， 20. （本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 参考答案： （1） 得0 ∴在上递减，在上递增. （2）∵函数在处取得极值，∴，   ∴，    令，可得在上递减，在上递增， ∴，即． （3）证明：， 令，则只要证明在上单调递增， 又∵， 显然函数在上单调递增． ∴，即， ∴在上单调递增，即， ∴当时，有． 21. 已知集合A={x∣x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0},B=, （1）当a=2时，求A∩B； （2）求使BA的实数a的取值范围.     参考答案： 1）当a=2时，A=（2，7）B=（4，5）∴ ……………3分 （2）∵B=（2a,a2+1）,  ①当a<时，A=（3a+1,2） 要使必须  ② ③a>时，A=（2，3a+1）要使，必须. 综上可知，使的实数a的范围为[1，3]∪{-1}. ………………12分 22. 函数角度看，可以看成是以r为自变量的函数，其定义域是. （1）证明： （2）试利用1的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大. 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先根据组合数公式求出、，计算的值，从而证得结论； （2）设，由（1）可得，令，可得 （等号不成立），故有当时，成立； 当时，成立.故最大， 当为奇数时，同理可证，从而证得结论. 【详解】（1）因为，又因为， 所以. 则成立. （2）设，因为，， 所以.令，所以， 则（等号不成立），所以时，成立， 反之，当时，成立. 所以最大，即展开式最中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，设，其最中间有两项且， 由（1）知，显然， ，令，可得， ，当时，，且这两项为二项展开式最中间两项的系数， 所以时，成立； 由对称性可知：当时，成立， 又，故当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大. 【点睛】本题主要考查组合及组合数公式，二项式定理的应用以及二项式系数的性质，令，求出的范围是解本题的关键，考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属于中档题.