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2022-2023学年湖南省衡阳市卿云中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 给出下列命题:
①已知,“且”是“”的充分条件;
②已知平面向量,“”是“”的必要不充分条件;
③已知 ,“”是“”的充分不必要条件;
④命题“,使且”的否定为“,都有使且”,其中正确命题的个数是( )
A. 0 B.1 C. 2 D.3
参考答案:
C
2. 若集合,,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 设定义在B上的函数是最小正周期为的偶函数,的导函数,当则方程上的根的个数为
A.2 B.5 C.4 D.8
参考答案:
C
由知,当时,导函数,函数递减,当时,导函数,函数递增.由题意可知函数的草图为,由图象可知方程上的根的个数为为4个,选C.
4.
已知集合,则集合N的真子集个数为( )
A.3;B.4
C.7
D.8
参考答案:
B
5. 在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
6. 已知全集则集合{1,6}= ( )
A.M B.N C. D.
参考答案:
C
7. 已知圆,圆,则圆与圆的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.内切 D.内含
参考答案:
B
略
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=﹣,且满足Sn++2=an(n≥2).则S2014等于( )
A.﹣ B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣
参考答案:
D
9. 阅读如下程序框图,如果输出,那么空白的判断框中应填人的条件是 ( )
A. S<8? B. S<12? C. S<14? D. S<16?
参考答案:
B
略
10. 函数()的图象如图所示,则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)下列说法中,正确的有 (把所有正确的序号都填上).
①“?x∈R,使2x>3“的否定是“?x∈R,使2x≤3”;
②函数y=sin(2x+)sin(﹣2x)的最小正周期是π;
③命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f'(x0)=0”的否命题是真命题;
④函数f(x)=2x﹣x2的零点有2个;
⑤dx等于.
参考答案:
①⑤
【考点】: 命题的真假判断与应用.
【专题】: 简易逻辑.
【分析】: 通过命题的否定判断①的正误;函数的周期判断②的正误;命题的否命题的真假判断③的正误;函数的零点的公式判断④的正误;定积分求出值判断⑤的正误.
【解答】: 解:对于①“?x∈R,使2x>3“的否定是“?x∈R,使2x≤3”,满足特称命题的否定是全称命题的形式,所以①正确;
对于②,函数y=sin(2x+)sin(﹣2x)=sin(4x+),函数的最小正周期,所以②不正确;
对于③,命题“函数f(x)在x=x0处有极值,则f'(x0)=0”的否命题是:若f'(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处有极值,显然不正确.利用y=x3,x=0时,导数为0,但是x=0不是函数的极值点,所以是真命题;
所以③不正确;
对于④,由题意可知:要研究函数f(x)=x2﹣2x的零点个数,
只需研究函数y=2x,y=x2的图象交点个数即可.画出函数y=2x,y=x2的图象,由图象可得有3个交点.
所以④不正确;
对于⑤,dx的几何意义是半圆的面积,圆的面积为π,dx=.所以⑤正确;
故答案为:①⑤.
【点评】: 本题考查命题的真假的判断与应用,考查命题的否定,零点判定定理,定积分的求法,函数的周期等知识,考查基本知识的应用.
12. 定义在 上的函数满足:①(c为正常数);②当时,.若函数的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上,则c等于_____
参考答案:
1或2
略
13. 执行如图所示的伪代码,输出的结果是 ▲ .
参考答案:
答案:25
14. 若,则= .
参考答案:
【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.
【分析】原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:∵,
∴=cos[﹣(+α)]=sin(+α)=.
故答案为:.
15. 已知一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为 .
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】判断三视图复原的几何体的形状,底面为等边三角形,一条侧棱垂直底面的一个顶点,结合数据求出外接球的半径,然后求其体积.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
底面为等边三角形,一条侧棱垂直底面的一个顶点,
故底面外接圆半径r=2,
球心到底面的距离d=2,
故球半径R==2,
故球的体积V==,
故答案为:
16. 设函数是定义在上的奇函数,且的图像关于直线对称,则
参考答案:
17. 已知函数f(x)=则f(f(-2))=________.
参考答案:
3
【详解】∵f(x)=
∴f(-2)=,∴f(f(-2))=f()=
故答案为:3
点睛:本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一,这类问题的特点是综合性强,对抽象思维能力要求高,因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰.本题解答分两个层次:首先求出f(-2) 的值,进而得到f(f(-2))的值.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四边形是边长为的正方形,平面平面,
, .
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
参考答案:
见解析
(Ⅰ)因为平面平面,
平面平面,且,所以平面.
因为平面,所以.
又因为四边形为正方形,所以.
因为,所以平面.
(Ⅱ)设,
因为四边形为正方形,
所以为中点.
设为的中点,连结,
则,且.
由已知,且,
则且
所以四边形为平行四边形.
所以,即.
因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知平面,
因为,所以平面,
所以.
又因为四边形为正方形,所以,
所以平面.
由(Ⅱ)可知,平面,
所以,点到平面的距离等于点到平面的距离,
所以 .
因为.
所以.
故三棱锥的体积为.
19. 已知函数
<1>求的定义域及最小正周期;
<2>求的单调递减区间。
参考答案:
<1>由故的定义域为 3分
因为
=
所以的最小正周期 7分
<2> 函数的单调递减区间为
由
得
所以的单调递减区间为 14分
略
20. (本小题满分12分)
鹰潭一中高三某班共有学生50人,其中男生30人,女生20人,班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查。
(I)若要从这5人中选取2人作为重点调查对象,求至少选取1个男生的概率;
(II)若男生学生考前心理状态好的概率为0.6,女学生考前心理状态好的概率为0.5, 表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数,求
参考答案:
略
21. 已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.
参考答案:
【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)利用绝对值不等式求最值,即可求a的值;
(Ⅱ)作差,利用基本不等式证明结论.
【解答】(Ⅰ)解:|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3,3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|
∵对任意实数x,不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立,
∴a=3;
(Ⅱ)证明:2m+﹣2n=(m﹣n)+(m﹣n)+,
∵m>n>0,
∴(m﹣n)+(m﹣n)+≥3=3,
∴2m+﹣2n≥3,
即2m+≥2n+a.
22. (本题满分14分)本题共有2个小题,每小题满分各7分.
如图,在直角梯形中,,,,点是的中点,现沿将平面折起,设.
(1)当为直角时,求异面直线与所成角的大小;
(2)当为多少时,三棱锥的体积为.
参考答案:
【测量目标】(1)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.
(2)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.
【知识内容】(1)图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.
(2)图形与几何/简单几何体的研究/锥体.
【参考答案】(1)当为直角时,即两两互相垂直,以点为坐标原点,为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分
则,, ……3分
设异面直线与所成角为,则
………………5分
故异面直线与所成角为.…7分
MHLD1
图(1)
(2)沿将平面折起的过程中,始终
有,,,由
得 ……………………9分
, ……………………12分
或. ……………………………14分
MHLD2
图(2)
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