2022年北京看丹中学高三数学文测试题含解析

2022年北京看丹中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”). 已知函数 f(x)=，则f(x)的“姊妹点对”有（    ）个 A．1          B．3             C．2           D．4 参考答案： C 2. 设曲线与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为（　　） ．               ．                 ．             ． 参考答案： C 由得曲线为.抛物线的准线为，所以它们围成的三角形区域为三角形.由得，作直线，平移直线，当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最大.由得，即，代入得，选C. 3. 若实数满足，则有     A．最大值                            B．最小值 C．最大值6                                         D．最小值6 参考答案： B 4. 设集合M={x|y=1og3(2－x)}，N={x| l≤x≤3}，则M∩N=          （    ）     A．[1,2）                 B．[1,2]                    C．（2,3]                   D．[2,3| 参考答案： A 略 5. 将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（　　） A．x= B．x= C．x= D．x﹣= 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位， 所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）， 当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=， 故选：C． 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为(　　) A．8π       B．4π      C．       D． 参考答案： A 7. 已知映射，其中，对应法则，对于实数在集合中不存在原象，则的取值范围是（  ） A．　 B．　　　 C．　　　   D． 参考答案： A 略 8. 若函数满足，存在，，使，则叫做函数的“基点”，已知函数存在“基点”，则的取值范围是（　　　） （A）　　　（B）　　　　　（C）　　　（D） 参考答案： D 略 9. 若满足条件，当且仅当时，取最小值,则实数的取值范围是（  ）      A.     B.     C.     D. 参考答案： C 10. 如右图，若输入n的值为4，则输出m的值为 A．      B．        C．       D． 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)=，当时， f(x)≥+3恒成立，则=  　  参考答案： -2 12. 在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为______ 参考答案： 5 13. 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是______________． 参考答案： 63 略 14. 已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为__________________. 参考答案： 15. 在的展开式中的常数项为            . 参考答案： 10 16. 二项式的展开式中含x项的系数为          ．  参考答案： 17. 已知向量，，若，则实数______; 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一企业从某条生产线上随机抽取30件产品，测量这些产品的某项技术指标值a,得到如下的频数分布表: a 频数 2 6 18 4 (I)估计该技术指标值的平均数和众数（以各组区间的中点值代表该组的取值）； (II) 若或，则该产品不合格，其余的是合格产品，从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于的产品恰有1件的概率． 参考答案： 19. 在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程 为ρsin（θ+）=1，圆C的圆心是C（1，），半径为1，求： （1）圆C的极坐标方程； （2）直线l被圆C所截得的弦长． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质． 【分析】（1）直接利用x2+y2=ρ2，ρcosθ=xρsinθ=y的关系式把直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，及把圆的直角坐标方程转化成极坐标方程． （2）利用圆心和直线的关系求出直线被圆所截得的弦长． 【解答】解：（1）已知直线l的极坐标方程 为ρsin（θ+）=1， 所以： 即：x+y﹣=0． 因为：圆C的圆心是C（1，），半径为1， 所以转化成直角坐标为：C，半径为1， 所以圆的方程为： 转化成极坐标方程为： （2）直线l的方程为：x+y﹣=0，圆心C满足直线的方程，所以直线经过圆心， 所以：直线所截得弦长为圆的直径． 由于圆的半径为1，所以所截得弦长为2． 20. 已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1） （1）求函数f（x）单调递增区间； （2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间； （2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna． 令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a， 当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，… 又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0）， 故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）… （2）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立， 而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min， 所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1… 又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示： x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） f'（x） ﹣ 0 + f（x） 减函数 极小值 增函数 所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数， 所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1， f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．… 因为f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna， 令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0）， 因为g′（a）=＞0， 所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数． 而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）； 当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）… 所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1， 而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e； 当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna在a∈（0，1）上是减函数， 解得0＜a≤． 综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．… 21. 如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点. （1）求证:GH∥平面CDE； （2）求证:面ADEF⊥面ABCD. 参考答案： 证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点， ∴中，，            ∵ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD ∴，    又∵ ∴平面             ⑵，     所以，                       又因为四边形为正方形， ，                       ， ，-                     . 略 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，⊙C圆心的极坐标为，半径为，直线l的参数方程：为参数）    （I）求圆C的极坐标方程；    （II）若直线l与圆C相离，求m的取值范围。 参考答案： 略