2022年河南省商丘市柘城县慈圣镇联合中学高三数学理测试题含解析

2022年河南省商丘市柘城县慈圣镇联合中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（  ） A．函数是先增加后减少         B．函数是先减少后增加 C．在上是增函数             D．在上是减函数 参考答案： C 2. 等比数列{an}各项均为正数，a3a8+ a4a7=18，则 A.20          B.36 C.9           D. 参考答案： A 3. 《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的倍，已知这座塔共有盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A． B． C． D． 参考答案： A 依题意，这是一个等比数列，公比为，前项和为， ∴，解得． 故选． 4. 按照如图程序运行，则输出 k 的值是 A．3   B．4      C．5      D．6 参考答案： A 5. 在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为    A．          B．          C．         D．  参考答案： B 方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有 ，即，化简得，又，， 画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示， 求得阴影部分的面积为，故 6. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为．直径为4的球的体积为，则（  　　） A. B.    C.             D. 参考答案： B 略 7. 已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z的共轭复数为（　　） A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=， ∴z=2﹣i，则． 故选：D． 8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如果是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（   ） （参考数据：，，） A．12 B．24 C．36 D．48 参考答案： B 考点：1.数学文化；2.程序框图. 【名师点睛】本题考查数学文化与程序框图，属中档题；数学文化是高考新增内容，程序框图是第年高考的必考内容，掌握循环程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确. 9. 已知集合，，则A∩B=（    ） A．{－1,0}         B．{0}       C．{－1}       D． 参考答案： C 10. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为(    )      A.（1,1]          B.（0,1]        C.[1，+∞）     D.（0，+∞） 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式的展开式中的系数为_____；系数最大的项为_____． 参考答案： ﹣160     【分析】 根据二项展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数，再根据二项式系数的性质，求出系数最大的项． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的系数为． 第项的系数为，要使该项的系数最大，应为偶数， 经过检验，时，该项的系数最大，为240，故系数最大的项为， 故答案为：﹣160；． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 12. 已知圆C经过直线与圆的交点，且圆C的圆心在直线上，则圆C的方程为______. 参考答案：       13. 已知函数f（2x﹣1）的定义域是[﹣2，3]，则函数f（x+1）的定义域是　　t． 参考答案： [﹣6，4] 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 解答： 解：∵f（2x﹣1）的定义域是[﹣2，3]， ∴﹣2≤x≤3，﹣4≤2x≤6，﹣5≤2x﹣1≤5， 由﹣5≤x+1≤5， 得﹣6≤x≤4， 即函数f（x+1）的定义域为[﹣6，4]， 故答案为：[﹣6，4] 点评： 本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系，比较基础． 14. 对某校400名学生的体重（单位：）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60以上的人数为              . 参考答案： 100 略 15. 已知随机变量服从正态分布，若，则      ． 参考答案：   0.36    16. 已知集合A、B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(?UB)＝     ． 参考答案： {3}  略 17. 设为等比数列的前n项和，，则                  . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设命题P：关于x的不等式（a＞0且a≠1）的解集为{x|﹣a＜x＜2a}；命题Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题． 【分析】根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”将两部分合并，即可得出实数a的取值范围． 解：对于不等式其解得情况如下： 当a＞1时，即为x2﹣ax﹣2a2＞0，解得x＜﹣a，或x＞2a 当0＜a＜1时 即为x2﹣ax﹣2a2＜0，解得﹣a＜x＜2a 当命题Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R 为真命题时， 易知a≠0，∴a＞0，且△=1﹣4a2＜0，即a＞ ∵P或Q为真，P且Q为假  ∴P，Q中一真一假， 若P真Q假，则有0＜a＜1且a≤，∴0＜a≤ 若P假Q真，则有  a＞1且  a＞，∴a＞1 综上所述，P或Q为真，P且Q为假， a的取值范围是0＜a≤，或a＞1． 【点评】本题考查含参数的不等式的解法，对数函数性质，复合命题真假的判断，以及逻辑思维能力．本题的关键是转化为时P，Q真假的条件．注意分类讨论． 19. （14分） 如图，在三棱锥中，， ，平面平面.     （Ⅰ）求证：；                    （Ⅱ）求的长度； （Ⅲ）求二面角的大小 . 参考答案： 解析：解法一： （Ⅰ）证明： 平面平面，平面平面， 且， .           ………….. 3分 ， .                  ………….. 4分 （Ⅱ）解：， . ， .                                    … 7分 平面， ， .                          ………….. 9分 （Ⅲ）解： 作于点，于点，连结.  平面平面， ，      根据三垂线定理得 ， 是二面角的平面角.                     .. 12分 在中， ， 易知，  ，                …….. 13分 即二面角的大小是.                    ….. 14分 解法二： 作于点，  平面平面， . 过点作的平行线，交于点. 如图，以为原点，直线分别为轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系 .   ………….. 2分 ， . ， .  .. 4分 （Ⅰ）证明：   .                                         ….. 7分 （Ⅱ）解：    ， 即线段的长度为.                              ……….. 10分 （Ⅲ）解： 作于点，连结. ，根据三垂线定理得 ， 是二面角的平面角.                  …….. 12分 在中， ，   从而， ，                        ….. 13分 即二面角的大小是.                   ….. 14分 20. （本小题满分13分）   已知函数，方程的解从小到大组成数列    （I）求a1、a2；   （II）求数列的通项公式． 参考答案： 21. 已知曲线C上任意一点P到两定点F1(-1,0)与F2(1,0)的距离之和为4． (Ⅰ)求曲线C的方程； (Ⅱ)设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点． (ⅰ)证明：k·kON为定值； (ⅱ)是否存在实数k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．   参考答案： 解：(Ⅰ) ． (Ⅱ)设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x1, y1)，C(x2, y2) (x2>y2)． (ⅰ)联立方程组，得， 则，故，， 所以，所以k?kON=为定值. (ⅱ)若F1N⊥AC，则kAC?kFN= -1， 因为F1 (-1,0)，故， 代入y2=k(x2+4)得x2=-2-8k2，y2=2k -8k3，而x2≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的 直线不存在．…………………………………………………………………… 15分 略 22. 椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率． 参考答案： 考点：椭圆的应用． 专题：计算题． 分析：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆C的方程． （Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，再由根与系数的关系求解． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5， 又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1， 所以椭圆C的方程为； （Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4， 联立，，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0， △=（32k）2﹣240（1+4k2）=64k2﹣240， 令△＞0，解得． 设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， （ⅰ）当∠EOF为直角时， 则， 因为∠EOF为直角，所以，即x1x2+y1y2=0， 所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0， 所以，解得． （ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角， 此时，kOE?k=﹣1，所以，即x12=4y1﹣y12①， 又；②， 将①代入②，消去x1得3y12+4y1﹣4=0， 解得或y1=﹣2（舍去）， 将代入①，得， 所以， 经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和． 点评：本题是椭