2023年内蒙古自治区呼和浩特市托县第一中学高二数学理模拟试题含解析

2023年内蒙古自治区呼和浩特市托县第一中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数，则（　　） A．x=e为函数f（x）的极大值点 B．x=e为函数f（x）的极小值点 C．为函数f（x）的极大值点 D．为函数f（x）的极小值点 参考答案： A 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求导，令f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，令f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间，则当x=e时，函数有极大值． 【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=， 令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e， ∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减， ∴当x=e时，函数有极大值， 故选A． 2. 已知双曲线C： (a>0,b>0)的焦距为10，点P(2,l)在C的一条渐近线上，则C的方程为 A.       B. C.       D. 参考答案： D 3. 抛物线y2=20x的焦点到准线的距离是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的标准方程可得 p=10，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果． 【解答】解：抛物线y2=20x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=10， 故选：B． 4. 直线与圆的位置关系是（    ）． A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 参考答案： A 直线， 即，即直线过点， ∵把点代入圆的方程有， ∴点在圆的内部， ∴过点的直线一定和圆相交． 故选． 5. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为 A．(1,2)        B．(2,3)   　     C．(－∞,1) 　　　  D．(3,+∞) 参考答案： B 方程，化为表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得，实数m的取值范围为(2,3)，故选B.   6. 已知直线经过点A（0，4）和点B（1，0），则直线AB的斜率为（　　） A．3 B．﹣4 C．4 D．不存在 参考答案： B 【考点】直线的斜率． 【分析】利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：kAB==﹣4． 故选：B． 7. 若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　) A．2　　 　 B．3　 　　 C．—9　 　　 D．9 参考答案： C 略 8. 执行右面的程序框图，输出的S是（      ） A．－378          B．378        C．－418          D．418 参考答案： D 9. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内一动点，且P到BC的距离与P到C1D1的距离之比为2，则点P的轨迹为（　　） A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆 参考答案： D 【考点】轨迹方程． 【分析】由直线C1D1垂直平面BB1C1C，分析出|PC1|就是点P到直线C1D1的距离，则动点P满足抛物线定义，问题解决． 【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离， 那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离的2倍，即离心率为， 所以点P的轨迹是椭圆． 故选：D． 10. 设满足不等式组，则的最小值为（     ） A、1     B、5    C、    D、 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 三棱锥的三视图如下（尺寸的长度单位为）．则这个三棱锥的体积为    _________; 参考答案： 12. 如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加，则第25行中第2个数是　_________　． 参考答案： . 13. 已知向量=（4，3），=（﹣2，1），如果向量+λ与垂直，则|2﹣λ|的值为　_________　． 参考答案： .，∵， ∴，解得，， 14. 若中两直角边为，，斜边上的高为，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，记，，那么，的大小关系是__________． 参考答案： 在中，①, 由等面积法得, ∴②， ①②整理得， ， 类比知：③， 由等体积法得， ∴④， ③④得， 故答案为． 15. 三个数72，120，168的最大公约数是_______。 参考答案： 24 16. 设椭圆的左,右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,则            参考答案： 3 17. 4xdx＝________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为. （1）求圆C的直角坐标方程； （2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求的最小值. 参考答案： （1）；（2）。 分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出． 详解： （1）由，化为直角坐标方程为， 即 （2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得 因为，可设， 又因为（2，1）为直线所过定点， , , , 所以 点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 19. （14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上． （1）求； （2）a为何值时与夹角为． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上求得； （2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出，与（1）中的结合得到关于a的方程，求解方程得答案． 【解答】解：（1）∵x1、x2是方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根， ∴△=4a2﹣8（a2﹣4）＞0，解得：， 且x1+x2=a，， 又∵A、B两点都在直线y=﹣x+a上， ∴y1y2=（﹣x1+a）（﹣x2+a）==， ∴=； （2）求解方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0，得，， ∴，同理y2=x1， ∴==． 当与夹角为时，， ∴a2﹣4=2，解得：． ∴． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了灵活变形能力，是中档题． 20. 已知: A(-5,0)、B(5,0), 直线AM，BM交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并说明该轨迹是何曲线。 参考答案： 解：设M的坐标(x,y),知 kAM=,     kBM= 由已知得,    化简得轨迹方程为： 该轨迹是椭圆（去掉两个顶点）   21. （本小题满分12分） 已知椭圆的焦点为和，椭圆上一点到两焦点的距离之和为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于两点.当变化时，求面积的最大值（为坐标原点）. 参考答案： （Ⅰ）设椭圆的标准方程为，   长轴长，，半焦距，.      ………2分     椭圆的标准方程为.                                ………3分 （Ⅱ），消去并整理，得.   ………5分 判别式， 解得.由题意，知. ………6分   设，，由韦达定理， 得，.                            ………7分 设直线与轴的交点为，则. 所以面积.                          ………9分                                                              ………11分 所以，当，即时，面积取得最大值.   ………12分 22. 已知条件p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；条件q：实数x满足8＜2x+1≤16． （1）若a=1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假；充要条件． 【分析】（1）通过解不等式得到条件p：a＜x＜3a，根据指数函数的单调性得到条件q：2＜x≤3，所以a=1时，p：1＜x＜3，而由p且q为真知p真q真，所以x满足，解该不等式即得实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，则a满足，解该不等式即得a的取值范围． 【解答】解：（1）由（x﹣a）（x﹣3a）＜0且a＞0，可得a＜x＜3a； 当a=1时，有1＜x＜3；                                              由8＜2x+1≤16，可得2＜x≤3； 又由“p且q”为真知，p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）； （2）由q是p的充分不必要条件可知：p得不到q，而q能得到p； ∴，1＜a≤2； ∴实数a的取值范围是（1，2]．