2022年湖北省荆门市杨集中学高三数学理月考试卷含解析

2022年湖北省荆门市杨集中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，则 (   ) A．｛1，3｝     B．｛2，4｝    C．｛1，2，3，5｝   D．｛2，5｝ 参考答案： A 略 2. 已知平面平面,=c，直线直线不垂直，且交于同一点，则“”是“”的       A. 既不充分也不必要条件  B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件    D. 充要条件 参考答案： D 略 3. 随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（　　） A．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C．8月是空气质量最好的一个月 D．6月份的空气质量最差 参考答案： D 【考点】频率分布直方图． 【分析】在A中，1月至8月空气合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个；在B中，分别求出第一季度合格天数的比重和第二季度合格天气的比重，能求出结果；在C中，8月空气质量合格的天气达到30天；在D中，5月空气质量合格天气只有13天． 【解答】解：在A中，1月至8月空气合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故A正确； 在B中，第一季度合格天数的比重为：， 第二季度合格天气的比重为：≈0.6263， ∴第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，故B正确； 在C中，8月空气质量合格的天气达到30天，是空气质量最好的一个月，故C正确； 在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，故D错误． 故选：D． 4. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于 （A）（B）（C） （D） 参考答案： A 本题考查三视图还原和锥体体积的计算 抠点法:在长方体中抠点, 1.由正视图可知:上没有点; 2.由侧视图可知:上没有点; 3.由俯视图可知:上没有点; 4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除. 由上述可还原出四棱锥,如右图所示, ,. 故选A. 5. 已知复数，则 等于（     ）    A.           B.               C.          D. 参考答案： B 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为）,则该“阳马”最长的棱长为（    ） （A） 5 （B） （C） （D） 参考答案： D 7. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在元的同学有39人，则的值为 A．100          B．120          C．130        D．390 参考答案： C 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（　　） 　 A． ﹣1 B． C． D． 4 参考答案： C 考点： 循环结构．343780 专题： 图表型． 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值并输出． 解答： 解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： 是否继续循环   S   i 循环前/4   1 第一圈       是﹣1 2 第二圈       是  3 第三圈       是  4 第四圈       是4   5 第五圈       是﹣1  6 第六圈       是  7 第七圈       是  8 第八圈       否 故最后输出的S值为 ． 故选C． 点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 9. 设等比数列的前项和为，若，，则等于 A．16             B. 31            C. 32            D.63 参考答案： B 10. 已知a∈（，），sinα=，则tan2α=  （  　　） A. B. C. D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：     ①；     ②；     ③． 其中，具有性质的函数的序号是______． 参考答案： ①③． 由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，即，所以，恒成立。所以①具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是①③。 12. 若关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则= _________． 参考答案： 略 13. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac＝4，，则△ABC面积的最大值为__________． 参考答案： 1 【分析】 由题，得：，利用两角和的正切及基本不等式的性质可得tanB的最大值，即得sinB的最大值，即可得出三角形面积的最大值． 【详解】由题得 即 当且仅当时取等号． ∴ 则△ABC面积的最大值acsinB1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及两角和的正弦公式，基本不等式的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，注意同角三角函数及正切公式的灵活运用是关键，属于中档题． 14. (极坐标与参数方程) 直线（）被曲线所截的弦长为_______. 参考答案： ． 略 15. 直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是          . 参考答案： 16. 函数的值域为,则实数的取值范围是____. 参考答案： 17. 在约束条件下，目标函数的最大值是1，则b=            。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）（2013?兰州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2=b2+c2+bc． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值． 　 参考答案： 解：（Ⅰ）∵a2=b2+c2+bc， ∴根据余弦定理，得cosA=．…（3分） ∵0＜A＜π，∴．…（6分） （Ⅱ）由正弦定理，得 ．…（9分） ∵，0＜B＜π， ∴．可得．…（11分） ∴B=C，可得c=b=2．…（12分） 略 19. 已知函数(为常数，为自然对数的底数）． （Ⅰ）当时，讨论函数在区间上极值点的个数； （Ⅱ）当，时，对任意的都有成立，求正实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）时，，记， 则，， 当时，，时，， 所以当时，取得极小值，又，， ，所以 （ⅰ）当,即时，，函数在区间上无极值点； （ⅱ）当即时，有两不同解， 函数在区间上有两个极值点； （ⅲ）当即时，有一解， 函数在区间上有一个极值点； （ⅳ）当即时，，函数在区间上 无极值点； （Ⅱ）当时，对任意的都有， 即，即 记，， 由，当时，时，， 所以当时，取得最大值， 又，当时，时，， 所以当时，取得最小值，所以只需要，即正实数的取值范围是． 20. 已知函数的最大值为. （1）若关于a的方程的两个实数根为，求证:； （2）当时，证明函数在函数f(x)的最小零点处取得极小值. 参考答案： （1）， 由，得；由，得； 所以，的增区间为，减区间为， 所以. 不妨设，∴， ∴， ∴，∴ ，∴， 设，则， 所以，在上单调递增，，则， 因，故，，所以. （2）由（1）可知，在区间单调递增，又时，， 易知，在递增，， ∴，且时，；时，. 当时， 于是时，， 所以，若证明，则证明， 记， 则，∵，∴， ∴在内单调递增，∴， ∵， ∴在 内单调递增. ∴，于是时， ，∴在递减. 当时，相应的， ∴在递增.故是的极小值点. 21. 某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110] 频数 4 12 42 32 10 （1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润． 参考答案： 【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3 ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42 ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42； （2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 [90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68． 【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题． 22. 在四棱锥S- ABCD中，，平面平面ABCD，，，点E，G分别在线段SA，AD上，且，，F为棱BC上一点，且． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 参考答案： （1）见解析（2） 【分析】 （1）由面面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得出平面，结合棱锥的体积公式即可得出答案. 【详解】（1）因为点，分别在线段，上，且， 故，又平面，平面，故平面； 因为，故，因为， 故四边形为平行四边形，故； 又平面，平面，故平面 因为平面，平面，