2023年山西省临汾市襄汾县赵康镇第二中学高三数学理下学期期末试题含解析

2023年山西省临汾市襄汾县赵康镇第二中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数z满足，则（   ） A．－3+i          B．3－2i         C．3+i         D．1+i 参考答案： C 2. “a≤-2”是“函数在 [-1,+∞)上单调递增”的        （    ）  A．充分不必要条件              B．必要不充分条件 C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 3. 设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1?x2?…?xn的值为(     ) A． B． C． D．1 参考答案： B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】欲判x1?x2?…?xn的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）xn， 令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点 （1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1）， 不妨设y=0， 则x1?x2?x3…?xn=××， 故选B． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题． 4. 若，为偶函数，则的图像--------(   ) A．关于轴对称     B．关于轴对称    C．关于原点对称   D．关于直线对称 参考答案： C 5. 已知0＜a＜1,,,则 (A)x＞y＞z                   (B)z＞y＞x                   (C)y＞x＞z                  (D)z＞x＞y 参考答案： 答案：C 解析：本小题主要考查对数的运算。 由知其为减函数, 6. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 A.2 B.2sin1 C. D.sin2 参考答案： C 略 7. 过点，且倾斜角为30°的直角与圆O：相切于点B，且，则△OAB的面积是（   ） A．                  B．               C．1            D．2 参考答案： B 在直角三角形AOB中 ，选B.   8. 若，则的值为（      ） A．      B．     C．     D． 参考答案： B 略 9. 已知函数，且，则函数的一个零点是 A． B． C． D． 参考答案： A 10. 已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　 　) A.c≥b>a  B.a>c≥b      C.c>b>a  D.a>c>b 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个学校共有N名学生，要采用等比例分层抽样的方法从全体学生中抽取样本容量为 的样本，已知高三年级有名学生，那么从高三年纪抽取的学生人数是___________。 参考答案： 12. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间 [－M,M]。例如，当，时，，。现有如下命题： ①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”； ②函数的充要条件是有最大值和最小值； ③若函数，的定义域相同，且，，则 ④若函数  （，）有最大值，则。 其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的序号） 参考答案： 【知识点】命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域． 【答案解析】①③④解析 ：解：（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值， 故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，， ”∴命题①是真命题； （2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴-≤≤．例如：函数满足-2＜＜5，则有-5≤≤5，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题； （3）对于命题③若函数，的定义域相同，且∈A，∈B， 则值域为R，∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．则+?B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数（x＞-2，a∈R）有最大值， ∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，→+∞，∴→+∞，则→+∞．与题意不符； 假设a＜0，当x→-2时，→，→-∞，∴→+∞，则→+∞．与题意不符．∴a=0． 即函数=（x＞-2） 当x＞0时，x+≥2，∴，即0＜≤； 当x=0时，=0； 当x＜0时，x+≤?2，∴?≤＜0，即?≤＜0． ∴?≤≤．即．故命题④是真命题． 故答案为①③④． 【思路点拨】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论． 13. 已知，数列{an}满足：对任意，，且，，则使得成立的最小正整数k为 ________. 参考答案： 298 【分析】 先求出确定是以3为首项，1为公差的等差数列，求出从而 最后解不等式得出的最小值。 【详解】，由知： ，又，. 是以3为首项，1为公差的等差数列，， 又，，从而， ，令得，又， 故的最小值为298. 【点睛】本题考察了三角函数的求导，等差数列的定义，同角三角关系式，以及根式不等式的求解。 14. （08年全国卷2文）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有       种（用数字作答） 参考答案： 【解析】：； 15. 如图，在平行四边形中，和分别在边和上，且，其中，若，则        ． 参考答案： 略 16. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为        ． 参考答案： 1200 17.  圆柱的内切球与圆柱的上下底面和周壁都相切．若圆柱内切球的体积为，则  圆柱的表面积为               . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数 (k∈N*，a∈R)． (1) 若，，求函数的最小值； (2) 若是偶数，求函数的单调区间． 参考答案： 解：（1）因为，，所以，（）， 由得，且当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．故．（5分） （2）当是偶数时，，． 所以当时，，在上是增函数；（9分） 当时，由得，且当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．（13分） 综上可得当时，的增区间为； 当时，的减区间为，增区间为．（14分） 19. （13分）设数列{an}满足条件a1=1，an+1=an+3?2n﹣1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若=n，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）利用数列的递推关系式，累加求和，求解通项公式即可． （2）求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可． 【解答】解：（1）∵a1=1，， ∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=1+3×20+3×21+…+3×2n﹣2=（n≥2）， ∵当n=1时，3×21﹣1﹣2=1式子也成立， ∴数列{an}的通项公式． （2）解：∵，即：，，，… ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=3（1×20+2×21+3×22+…+n?2n﹣1）﹣（2+4+6+…+2n）． 设，① 则，② ①﹣②，得， ∴， ∴=3（n﹣1）?2n﹣n（n+1）+3． 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力． 　 20. （本小题满分13分） 设抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，过焦点F作y轴的垂线，交抛物线于A、B两点，点M（0，），Q为抛物线上异于A、B的任意一点，经过点Q作抛物线的切线，记为l，l与MA、MB分别交于D、E． （Ⅰ）求证：直线MA、MB与抛物线相切； （Ⅱ）求证 参考答案： 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8 【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 解析：                               ---------1分                                            ---------2分                                 ---------3分 所以直线与抛物线相切,同理直线与抛物线相切 ---------5分 2)设，切线,---------7分 同理---------10分      到直线的距离---------12分     所以---------13分   【思路点拨】（Ⅰ）求出，代入x2=2py，利用根的判别式，可得直线MA、MB与抛物线相切； （Ⅱ）求出，，即可证明结论． 21. 在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD=2，AB=4，AD=BC=，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如图，若G为FB的中点． （1）求证：AG⊥平面BCEF； （2）求三棱锥G﹣DEC的体积． 参考答案： 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）由已知得AG⊥BF，EF⊥BF，从而EF⊥平面ABF，由此能证明AG⊥平面BCEF． （2）取EC中点M，连接MC、MD、MG，由已知得DM⊥平面BCEF，由此能求出三棱锥G﹣DEC的体积． 解答： （1）证明：∵AF=BF，且∠AFB=60°， ∴△ABF是等边三角形 又∵G是FB的中点，∴AG⊥BF， ∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点， ∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF， ∵AF、BF是平面ABF内的相交直线， ∴EF⊥平面ABF ∵AG?平面ABF，∴AG⊥EF， ∵BF、EF是平面BCEF内的相交直线， ∴AG⊥平面BCEF．   （2）解：取EC中点M，连接MC、MD、MG， ∵AF∥DE，AF?平面ABF，DE?平面ABF， ∴DE∥平面ABF， 同理可得：CE∥平面ABF， ∵DE、CE是平面DCE内的相交直线， ∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM， ∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF， ∵MG?平面BCEF，∴DM⊥MG， ∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC， ∴四边形EFGC是平行四边形，可得EF∥CG ∵EF⊥平面ABF， ∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG Rt△BCG中，BG=1，BC=，可得CG==1 又∵DM=CE=，CE=1， ∴=， ∴三棱锥G﹣DEC的体积VG﹣DEC===． 点评：本题考查直线与平