2022年湖南省长沙市金海实验学校高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年湖南省长沙市金海实验学校高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （2016?海南校级二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积（　　） A．3 B． C． D．3 参考答案： C 【考点】余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6， ∴c2=a2﹣2ab+b2+6， 即a2+b2﹣c2=2ab﹣6， ∵C=， ∴cos===， 解得ab=6， 则三角形的面积S=absinC==， 故选：C 【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键． 2. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【专题】综合题；函数的性质及应用． 【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称 ∴y=f（x）的图象关于x=2对称 ∴f（4）=f（0） 又∵f（4）=1，∴f（0）=1 设g（x）=（x∈R），则g′（x）== 又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1 又∵g（0）==1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故选B． 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 3. 已知函数（a>0）的最小值为2，则实数a=（   ） A. 2    B. 4    C. 8    D. 16 参考答案： B 由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。选B。 4. 如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（  ） A.1     B.2     C.3   D.4   参考答案： B 略 5. 不等式 对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(  ) A．[－1,4]  B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[－2,5] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 参考答案： A 6. 下列命题为真命题的是（    ） （A）若为真命题，则为真命题 （B）“”是“”的充分不必要条件 （C）命题“若，则”的否命题为“若，则” （D）若命题：，使，则：，使 参考答案： B 7. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数，函数的图象如右图所示： -2 0 4 1 -1 1        若两正数a，b满足的取值范围是（    ）        A．                  B．                   C．                  D． 参考答案： D 略 8. 若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且C=60°,则 的值为（　  　） A． B．1 C． D．  参考答案： C 略 9. 设集合则 参考答案： D 略 10. 已知双曲线的左焦点F1，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆相交的弦长为，则双曲线的离心率为(    ) A． B． C． D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的图像在点处的切线方程为，则                     . 参考答案： 3 略 12. 在边长的等边中，,若是所在平面内一点，且为单位向量，则的最大值为             ． 参考答案： 13. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第10行第3个数字是       ． 参考答案： 略 14. 设函数，若，则F(x)的最大值为                    。 参考答案： 15. 若圆与圆相交于，则公共弦的长为________. 参考答案： 公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到公共弦的距离为，所以公共弦的长为。 16. 若角α的终边与的终边关于y轴对称，则角α的取值集合为　　． 参考答案： ． 【分析】由角α的终边与的终边关于y轴对称，可知α=，k∈Z，从而可得答案． 【解答】解：∵角α的终边与的终边关于y轴对称， ∴， ∴角α的取值集合为：． 故答案为：． 17. 已知向量，，，若∥，则=         ． 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a+c，b)，且⊥. （1）求角的大小； （2）若，求的范围 参考答案： 19. 为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查10个家庭，得数据如下： 求回归直线方程. 参考答案： 用计算机Excel软件作出散点图（如下图），观察呈线性正相关，并求出回归方程=0.8136x－0.0044. 20. （本小题满分12分）        已知函数．      （1）求的单调区间； （2）设，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 参考答案： 解：（1）……………………………………2分 当时，由于，故，故， 所以，的单调递增区间为…………………………………………3分 当时，由，得. 在区间上，，在区间上 所以，函数的单调递增区为，单调递减区间为…………5分 所以，当时，的单调增区间为. 当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为 ………………………………………………………………………………………………6分 （2）由已知，转化为. 由已知可知………………………………………………8分 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意. （或者举出反例：存在，故不符合题意）…………………9分 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以，解得………………………………………………12分 略 21.      已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π． （I）求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间； （II）将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合． 参考答案： (1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin， 由题意可知函数的最小正周期T＝＝π(ω>0)，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z， 即f(x)的递增区间为，k∈Z． (2)g(x)＝f＝2sin＝2sin，则g(x)的最大值为2，此时有2sin＝2，即sin＝1，即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z， 所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为 22.   如图，ABCD是正方形空地，正方形的边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9m、3m，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9，线段MN必须过点P，满足M、N分别在边AD、AB上，设，液晶广告屏幕MNEF的面积为    （I）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域；    （II）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？     参考答案： 解：（I）如图，建立直角坐标系，设 由已知有 又MN过点D时，x最小值为10，                                    …………2分                                             …………5分 定义域为[10，30]                                                          …………6分    （II）                                                                                              …………7分 令， 当关于x为减函数； 当时，关于为增函数                                      …………11分 时，S取得最小值                       …………11分 答：当AN长为（m）时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小                                                                                              …………12分