云南省大理市公郎中学2023年高二数学文模拟试卷含解析

云南省大理市公郎中学2023年高二数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（      ） A.充分不必要条件           B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件            D.  既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 2. 命题“?x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是　(　　) A．?x∈(0,+∞),lnx≠x-1          B．?x? (0,+∞),lnx=x-1　　 C．?x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1        D．?x0? (0,+∞),lnx0=x0-1 参考答案： A 因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“?x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是：. 故选：A.   3. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数，现从1，2，3，4，5，6这六个数中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A．120个        B．80个           C．40个         D．20个 参考答案： B 略 4. 已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出?=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值． 【解答】解：∵|+|=1， ∴（+）2=2+2?+2=1 ∵||=||=1，得2=2=1 ∴代入上式得：2?=﹣1， ?=﹣ 因此，向量，夹角的余弦为cosθ==﹣ 故选：B 5. 函数y=3sin的单调递增区间是（     ）。 A、              B、     C、             D、 参考答案： C 6. 某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是(      ) A．0.09      B．0.98     C．0.97      D．0.96 参考答案： D 7. 过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（　　） A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=0 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0，把点A（2，1）代入解得m即可得出． 【解答】解：设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0， 把点A（2，1）代入可得：4﹣1+m=0，解得m=﹣3． 可得要求的直线方程为：2x﹣y﹣3=0， 故选：C． 【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为(　　)． A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 参考答案： D 两名女生站一起有种站法，她们与两个男生站一起共有种站法，老师站在他们的中间有＝24种站法，故应选D. 9. 若为实数，且，则下列命题正确的是（   ） A.     B.     C.     D. 参考答案： A 10. 设x，y满足约束条件若目标函数的最大值1，则的最小值为 （    ） A． B． C． D．4 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在的展开式中，含x5项的系数是________ 参考答案： 207 12. “”是“函数为奇函数”的_____________条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 参考答案： 充分不必要 略 13. 已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项． （1）若a1=4，则d的取值集合为　    　； （2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为　   　． 参考答案： （1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1． 【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和． 【分析】由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解． 【解答】解：由题意可得，ap+aq=ak，其中p、q、k∈N*， 由等差数列的通向公式可得a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d=a1+（k﹣1）， 整理得d=， （1）若a1=4，则d=， ∵p、q、k∈N*，公差d∈N*， ∴k﹣p﹣q+1∈N*， ∴d=1，2，4， 故d的取值集合为 {1，2，4}； （2）若a1=2m（m∈N*），则d=， ∵p、q、k∈N*，公差d∈N*， ∴k﹣p﹣q+1∈N*， ∴d=1，2，4，…，2m， ∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1﹣1， 故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1﹣1． 14. 大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取 2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______. 参考答案： 15. 直线过点（—4，0）且与圆交于两点，如果，那么直线的方程为                       参考答案： 或 略 16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱垂直底面的四棱锥称之为阳马．现有一阳马的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为▲cm3，表面积为　　▲　　cm2． 参考答案： 16 ； 17. 已知点，圆：，点是圆上一个动点，线段AN的垂直平分线交直线AM于点P，则点P的轨迹方程为      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(cosA＋sinA,2－2sinA)，向量q＝(cosA－sinA,1＋sinA)，且p⊥q. (1)求角A； (2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求△ABC的面积． 参考答案： (1)∵p⊥q， ∴(cosA＋sinA)(cosA－sinA)＋(2－2sinA)(1＋sinA)＝0， ∴sin2A＝．而A为锐角，所以sinA＝?A＝． (2)由正弦定理得a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝． ∴BC＝AC×tan＝×＝3. ∴S△ABC＝AC·BC＝××3＝． 19. 如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M为AB的中点． （Ⅰ）证明：AC⊥SB； （Ⅱ）求点B到平面SCM的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】数形结合；综合法；空间角． 【分析】（Ⅰ）先证明线面垂直，从而证明出线线垂直； （Ⅱ）求出SE的长，得到三角形BMC的面积，从而求出B到平面SCM的距离． 【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DB． 因为SA=SC，BA=BC， 所以AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D， 所以AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，所以AC⊥SB．…（6分） （Ⅱ）解：因为SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC， 所以SD⊥平面ABC． 如图4，过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM…（8分） 所以在Rt△SDE中，SD=1，，∴，CM是边长为2的正△ABC的中线， ∴，∴， ．…（10分） 设点B到平面SCM的距离为h， 则由VB﹣SCM=VS﹣BCM得， 所以．…（12分） 【点评】本题考查了空间位置关系及距离，考查线线垂直、线面垂直问题，是一道中档题． 20. 已知函数，，  为自然对数的底数． （1）若，，证明：当时，恒成立； （2）若，，f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点，求a的取值范围． 参考答案： （1）详见解析；（2）. 【分析】 （1）根据导函数求出函数的单调性得函数的最值，即可得证； （2）求出导函数，将问题转化为讨论的零点问题. 【详解】解：（1）由题知，  ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当时，，命题得证； （2）由题知：，， 所以与，在上正负同号， 当时，没有零点，在上没有极值点； 当时，令，则 当时，，在）上单调递减， 当时，，在上单调递增， 若，即，，在上没有极值点 若，即；因为，所以在上有1个零点；    由（1）知：所以， 所以在上也有1个零点；      所以，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，在上有两个极值点：； 所以 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决函数的最值问题，根据函数函数的极值点个数求参数的取值范围，涉及转化与化归思想. 21. 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如下表. 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 （1）画出茎叶图 （2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适. 参考答案： 解：（1）画茎叶图,中间数为数据的十位数（4分）  （2）：=33，=33；=3.96，=3.56；甲的中位数是33，乙的中位数是35. 综合比较选乙参加比赛较为合适.（8分） 22. （本小题12分）类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明. 参考答案： （课本例4） 猜想四面体有三个“直角面”和一个斜面s，类比勾股定理有6分 证明略. 略