2023年江西省吉安市高溪中学高三数学理模拟试题含解析

2023年江西省吉安市高溪中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 参考答案： C 【考点】函数的值；偶函数；函数的周期性． 【分析】本题函数解析式只知道一部分，而要求的函数值的自变量不在此区间上，由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解． 【解答】解：由题意定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x）， 得f（x）=﹣f（x﹣4），此式恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），由此式恒成立可得，此函数的周期是8． 又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1）， 由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1． 故选C 2. 若集合，，则= A．        B．        C．        D．   参考答案： D 略 3. 已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（　　） A． B． C．10 D．20 参考答案： B 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由等差数列{an}可得： =d=n+为等差数列，即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}可得： =d=n+为等差数列， ∵﹣=100， ∴+﹣=100， ∴10d=1，解得d=． 故选：B． 4. 已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称，则圆C中以（，﹣）为中点的弦长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由已知直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2），从而得到a=4，点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d=1，圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r=，由此能求出圆C中以（，﹣）为中点的弦长． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x+4y=0关于直线3x﹣ay﹣11=0对称， ∴直线3x﹣ay﹣11=0过圆心C（1，﹣2）， ∴3+2a﹣11=0，解得a=4， ∴（，﹣）=（1，﹣1）， 点（1，﹣1）到圆心C（1，﹣2）的距离d==1， 圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的半径r==， ∴圆C中以（，﹣）为中点的弦长为：2=2=4． 故选：D． 5. 复数（a2﹣a﹣2）+（a+1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．2或﹣1 参考答案： C 【考点】复数的基本概念． 【专题】计算题；方程思想；分析法；数系的扩充和复数． 【分析】由实部等于0且虚部不等于0求解a的值． 【解答】解：由复数（a2﹣a﹣2）+（a+1）i是纯虚数， 得，解得：a=2． 故选：C． 【点评】本题考查复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题． 6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 A．  B．  C．  D． 参考答案： C 7. 是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面, 则该球的体积为（    ） A．        B．       C．      D． 参考答案： A 略 8. 某人参加央视《开门大吉》节目，他答对第一首歌名的概率为0.8，连续答对第一、二首歌名的概率为0.6，在节目现场，他已答对了第一首歌名，那么接下来他能答对第二首歌名的概率为（　　） A．0.48 B．0.6 C．0.7 D．0.75 参考答案： D 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】由条件概率计算公式能求出已答对了第一首歌名，接下来他能答对第二首歌名的概率． 【解答】解：∵某人参加央视《开门大吉》节目，他答对第一首歌名的概率为0.8， 连续答对第一、二首歌名的概率为0.6，在节目现场，他已答对了第一首歌名， ∴由条件概率计算公式得接下来他能答对第二首歌名的概率为： p==0.75． 故选：D． 9. 若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先求，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角. 【详解】因为，所以 因此，倾斜角为，选B. 【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力. 10. 已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=(     ) A．﹣ B．0 C．3 D． 参考答案： C 【考点】平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可． 【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1） ∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6）， ∵（2﹣3）⊥， ∴（2﹣3）?=0' ∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0， 解得，k=3． 故选：C． 【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=________.   参考答案： 略 12. 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是           ． 参考答案： 13. 定义max{a，b}=，已知函数f（x）=max{|2x﹣1|，ax2+b}，其中a＜0，b∈R，若f（0）=b，则实数b的范围为　　，若f（x）的最小值为1，则a+b=　   　． 参考答案： [1，+∞）,1. 【考点】3H：函数的最值及其几何意义． 【分析】利用定义判断b的范围，作出两函数y=|2x﹣1|与y=ax2+b的函数图象，根据f（x）定义判断y=ax2+b与点（1，1）的关系，得出a+b的值． 【解答】解：∵f（0）=max{1，b}=b，∴b≥1； 作出y=|2x﹣1|与y=ax2+b的函数图象，如图所示： ∵f（x）的最小值为1，∴y=ax2+b恰好经过点（1，1）， ∴a+b=1． 故答案为：[1，+∞），1． 14. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据复数的除法，求出复数z即可. 【详解】复数z满足， ， 故本题选B. 【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础. 15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且,（），若, 则数列{bn}的前n项和Tn =_______________. 参考答案： 或     由可知，两式相减得，因为，所以，，构造 ，所以=1， 数列是以1为公差，1为首项的等差数列，所以， 当n为偶数时， ，当n为奇数时， ，综上所述 ,故填或. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 16. 已知是奇函数，且，若，则      . 参考答案： 【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值．B4  B1 【答案解析】-1  解析：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1， 所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3 所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1 故答案为﹣1 【思路点拨】由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案 17. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为　    　． 参考答案： x+y﹣4=0 【考点】直线的参数方程． 【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论． 【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1） 曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4， 当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵kCP==1，kAB=﹣1 ∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0， 故答案为：x+y﹣4=0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 必修5：数列 已知数列满足：，. （Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前n项和. 参考答案： （Ⅰ）由已知，     ……………………………3分   又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列    …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，         ………7分   ,   …10分   19. 设b>0，数列}满足a1=b, （1）求数列的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，2ab+1 参考答案：                                      解：（1）由                   令          当                            ①当          ②当时，             （2）当          只需                                                       综上所述 20. 如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形. （Ⅰ）求AM的长； （Ⅱ）求sin∠ANC． 参考答案： 21. （本小题满分12分） 已知函数在处取得极值，且在点处的切线斜率为2. 求的值 若关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。 参考答案： 22. 已知数列满足：，（） （1）求证：数列是等比数列； （2）令，（），如果对任意，都有，求实数的取值范围. 参考答案： (1) 是以-为首项，为公比的等比数列。 （2）