2022年湖南省长沙市长郡外国语学校高三数学文测试题含解析

2022年湖南省长沙市长郡外国语学校高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知分别是两条不重合的直线，分别垂直于两不重合平面，有以下四个命题：①若，且，则；②若，且，则； ③若且，则；④若且，则．其中真命题的序号是（    ） A．①②        B．③④        C．①④         D．②③ 参考答案： D 2. 已知函数 f (x)是定义在(－6,6)上的偶函数， f (x)在[0,6)上是单调函数，且 f (－2) ＜ f (1)，则下列不等式成立的是 参考答案： D 略 3. 下列四种说法中，正确的是 （     ） A．的子集有3个； B．“若”的逆命题为真； C．“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件； D．命题“，均有”的否定是 “使得 参考答案： C 4. 已知函数满足：①；②在上为增函数　 若,且,则与的大小关系是() A　          B　   C　          D　 无法确定 参考答案： C 略 5. 设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】分别解出p和q的范围，解q时注意到关于y轴对称，只要解x≥0时即可． 【解答】解：p：x2﹣x﹣20＞0，解得x＞5或x＜﹣4， q：＜0，当x≥0时可化为得0≤x＜1或x＞2 故＜0的解为：x＜﹣2或﹣1＜x＜1或x＞2， 故选A 6. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（    ） A 0       B 1         C 2       D 3 参考答案： C 略 7. 若复数是纯虚数，则实数的值为 A. 或        B.           C.          D. 或 参考答案： C 略 8. 若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件，作出可行域如图 联立，解得A（1，3），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z． 由图可知，当直线y=2x﹣z．过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1． 故选：B． 9. 已知，则的最小值为                        （    ）          A．      B．      C．  D． 参考答案： B 10. 函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为(    ) A.(-1，1)         B.(-1，+∞)         C.(-∞，-l)         D.(-∞,+∞) 参考答案： B 设,    则， ，对任意，有，即函数在R上单调递增，则的解集为，即的解集为，选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知连续个正整数总和为，且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为．若，则的值为        ． 参考答案： 5 略 12. 若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=　 　，b=　  　． 参考答案： ，． 【考点】4H：对数的运算性质． 【分析】正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用对数的运算法则与单调性可得：8a==，解出即可得出． 【解答】解：∵正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b）， ∴log2（8a）==， ∴8a==， 解得a==b． 故答案为：，． 13. 在中，角所对的边分别为且，则的外接圆的半径                参考答案： 14. 已知是正整数，若关于的方程有整数解，则所有可能的取值集合是      ． 参考答案： 15. 已知向量，的夹角为，，则在方向上的投影为   ▲   ． 参考答案： 由题意得投影为   16. 已知点P在圆x2+y2=1上运动，则P到直线3x+4y+15=0的距离的最小值为　　． 参考答案： 2 略 17. 计算=           ； 参考答案： e 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为，直线l的参数方程（t为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2． （1）写出曲线C2的参数方程； （2）设点，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值． 参考答案： （1）（为参数）；（2） 分析：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程. （2）将直线的参数方程化为标准形式代入曲线，得到，进而可求解结论. 详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为， 整理得，曲线的参数方程（为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数）， 将参数方程带入得 整理得. ，， ． 点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.   19. （本小题满分12分）          已知函数. （1）判断函数的单调性并求出函数的最小值；          （2）若恒成立，求m的取值范围. 参考答案： 20. (本小题满分12分)某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于小于为二等品，小于为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 甲 3 7 20 40 20 10 乙 5 15 35 35 7 3 现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率． （1）计算新工人乙生产三件产品A，给工厂带来盈利大于或等于100元的概率； （2）记甲乙分别生产一件产品A给工厂带来的盈利和记为X，求随机变量X的概率分布和数学期望． 参考答案： 甲生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为， 3分 乙生产一件产品A为一等品、二等品、三等品的概率分别为      6分 （1）新工人乙生产三件产品A，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：                8分 （2））随机变量X的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20． ，， ，， ，　　　 所以，随机变量的概率分布为: 100 80 60 40 20 -20 随机变量X的数学期望 （元）12分 考点：1.统计概率.2.数学期望的计算. 21. （本小题满分14分）设，其中 （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为R上的单调函数，求a的取值范围。 参考答案： 解：对求导得   ①……………2分 （Ⅰ）当时，若 解得……………4分     综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗   所以, 是极小值点, 是极大值点. ……………8分     （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号， 结合①与条件a>0，知在R上恒成立，……………10分 因此由此并结合，知。 所以a的取值范围为……………14分 22. (本小题满分10分)选修:几何证明选讲 如图所示，是半圆的直径，，垂足为，，与、分别交于点、． (Ⅰ)证明：； (Ⅱ)证明：． 参考答案：