2023年湖北省十堰市东风中学高三数学文联考试题含解析

2023年湖北省十堰市东风中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　) A．120     B．99     C．11        D．121 参考答案： A 由，所以，即，即，解得.选A. 2. 函数在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是 A．     B．      C．(－∞,0)      D． 参考答案： D 3. 已知三个正数a,b,c，满足，则的取值范围是（   ） （A）  （B）  （C）   （D） 参考答案： B 因为三个正数a,b,c，满足，结合几何意义可知所求的的范围关键是求解的范围，那么利用斜率的意义可知选B 4. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为                             （    ）     A．       B．          C．       D． 参考答案： D 5. 函数（     ） A． 图象无对称轴,且在R上不单调 B． 图象无对称轴,且在R上单调递增 C． 图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调 D． 图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增 参考答案： D 将题目简化下,原函数与|x-1|+|x-2|+|x-3|的图像性质类似 可以用图像,做一条x轴,标出1,2,3的坐标 函数的集合意义即x轴上的点到3个点的距离和 然后分x在1点左方,1和2之间,2和3之间,3点右方来讨论 不难得出上述结论。其对称轴为x=1006,在对称轴的右方单调递增，左方单调递减。 6. 设方程10x=|lg（﹣x）|的两根分别为x1、x2，则（　　） A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 参考答案： D 【考点】指数函数与对数函数的关系． 【分析】作出函数对应的图象，判断两个根的取值的大体范围，然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可． 【解答】解：作出函数y=10x，y=|lg（﹣x）|的图象，由图象可知，两个根一个小于﹣1，一个在（﹣1，0）之间， 不妨设x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0， 则10=lg（﹣x1）， 10=|lg（﹣x2）|=﹣lg（﹣x2）． 两式相减得： lg（﹣x1）﹣（﹣lg（﹣x2）=lg（﹣x1）+lg（﹣x2）=lg（x1x2）=10﹣10＜0， 即0＜x1x2＜1． 故选：D． 7. 设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（    ） A．0       B．1       C．2      D．3 参考答案： D 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 （A）120           （B）60        （C）24         （D）20 参考答案： B 9. 函数的零点个数为(   )     (A) (B)     (C)                      (D) 参考答案： B 10. 已知倾斜角为的直线与直线x -2y十2=0平行，则tan 2的值               A．               B．               C．              D． 参考答案： B 直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 点（－2，1）到直线3x－4y－2=0的距离等于_________. 参考答案： 略 12. 已知实数满足条件则的最大值为　　　　　． 参考答案： 答案：   13. 如图所示的程序是计算函数函数值的程序，若输出的值为4，则输入的值是          . 参考答案： -4,0,4  14. 若实数满足，且，则的值为            . 参考答案： 15. 等差数列的前项和为，若，则公差          ；通项公式          ． 参考答案： 1， 因为，所以   16. 已知函数，对于实数、、有，，则的最大值等于      ． 参考答案： 17. 设F1、F2分别为双曲线C1：的左、右焦点，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆C2与双曲线的右支交于P、Q两点，若△PF1F2的面积为4，∠F1PF2=75°，则C2的方程为　　． 参考答案： （x+2）2+y2=16 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得△PF1F2为等腰三角形，且腰长为2c，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵|F1F2|为半径的圆C2与双曲线的右支交于P、Q两点，∠F1PF2=75°， ∴∠PF1F2=30°， ∵△PF1F2的面积为4， ∴×2c?2c?sin30°=4， ∴c=2， ∴C2的方程为（x+2）2+y2=16， 故答案为：（x+2）2+y2=16． 【点评】本题考查了双曲线的定义和方程，以及圆的定义和方程以及三角形的面积公式，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数 模型的基本要求，并分析函数是否符合这个要求，并说明原因； （2）若该公司采用函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值． 参考答案： （1）设奖励函数模型为，按公司对函数模型的基本要求，函数满足：当时， ① 是定义域上是增函数；   ② 恒成立；                     ③ 恒成立．                                          3分 对于函数模型，当时，是增函数； ，∴恒成立； 但当时，，即不恒成立．  综上，该函数模型不符合公司要求．                              6分 （2）对于函数模型，即，      ① 当，即时，在上是增函数； 8分 ② 为使对在恒成立，则，即； 10分 ③ 为使对在恒成立，则，         即，即对恒成立， 12分 综上，，又，∴．                            14分 19. （13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G： (a＞b＞0)上的两点． （1）求椭圆G的离心率； （2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率； （2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程． 【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1）， ∴，解得， 则=， ∴椭圆G的离心率e==； （2）由（1）得，椭圆G的方程是， ①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3， 代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1）， 则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1， 由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0， ∴3+x1=，3x1=，则x1=， ∵以BC为直径圆经过点A， ∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）?（x1，y1﹣2）=0， ∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0， ∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）?+3k+1=0， 化简得，18k2﹣7k﹣1=0， 解得k= 或k=， ∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1， 即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0， 综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0． 【点评】本题考查了待定系数法求椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，向量数量积的坐标运算，以及“设而不求”的解题思想方法，考查转化思想，化简、变形、计算能力． 20. 已知α为锐角，且，函数，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）． （1）求函数f（x）的表达式； （2）求证：数列{an+1}为等比数列； （3）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列与函数的综合． 【专题】综合题；转化思想． 【分析】（1）由，将代入可求解，由α为锐角，得α=，从而计算得进而求得函数表达式． （2）由an+1=2an+1，变形得an+1+1=2（an+1），由等比数列的定义可知数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由（2）得an=2n﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得． 解：（1）∵ 又∵α为锐角 ∴α= ∴ ∴f（x）=2x+1 （2）∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1） ∵a1=1 ∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由上步可得an+1=2n，∴an=2n﹣1 ∴ 【点评】本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n项和． 21. （本小题满分13分） 如图，三棱柱中，平面，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值；    （3）求点到平面的距离． 参考答案： 解法一 （1）∵∥ ∴是异面直线所成的角   …………………1分    ∵ 平面， ∴ 在直角中，，在直角中，    ∵ ∴ ∴ 在中，    ∴ 在中，     ……………………………………3分 ∴为直角三角形 ∴ ∴    ……………………4分 （2）取中点，中点，连接   ∵ ∴ 且   ∵ 平面 ∴ ∥ ∴   ∴ 就是二面角的平面角    ………………………………6分   延长至，使 ∴ 与平行且相等 ∴ 四边形为平行四边形 ∵ ∥ ∴平面 ∴ ∴ 四边形为矩形       ……………………………………………………8分   ∴ 在直角中，   …………………9分 （3）取的中点，连 ∵ 为正三角形 ∴ 且   ∵ ，是平面内的两条相交直线 ∴ 平面 ………………………………………………………………11分    设点到平面的距离为，显然 …………………………12分   ∴   ∴ ∴ ………………13分 解法二 （1）∵，  ∴ 为正三角形 取的中点为，连，∴ ∴   ∵ 平面 ∴ 平面 ∴ 两两垂直 …2分    以为坐标原点，分别以的方向为轴的方向， 建立如图空间直角坐标系．则 ……3分   ∴   ∵   ∴ ∴ …………………………………………………………5分 （2），设平面的法向量为   ∵ ∴ ，令，则   ∴ ……………………………