湖北省黄冈市黄梅县小池镇第二中学2021年高三数学理月考试卷含解析

湖北省黄冈市黄梅县小池镇第二中学2021年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，某简单几何体的正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积为      (A) 2              (B)4              (C)              (D)8 参考答案： B 2. 若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： C 考点： 不等关系与不等式．  专题： 证明题． 分析： 由条件可得 0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确． 解答： 解：由 ，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立； ∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确， 故选 C． 点评： 本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出  0＞a＞b． 3. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值是（   ） A．    B．1或         C．1或        D．1 参考答案： 【知识点】椭圆与双曲线的性质.   H5   H6 【答案解析】D  解析：由已知得：，故选D. 【思路点拨】根据椭圆和双曲线的性质，得关于a的方程与不等式构成的混合组，解得a值. 4. 已知，，，则a,b,c三个数的大小关系是       A.     B.     C.     D. 参考答案： A 略 5. 设全集U＝R，集合A＝{x | x(x＋3)＜0}，B＝{x | x＜－1}，则右图中阴影部分表示的集合为 A．{x |－3＜x＜－1} B．{x |－1≤x＜0} C．{x |－3＜x＜0}             D．{x |－1＜x＜0} 参考答案： B 略 6. 算筹是中国古代用于计算和运算的若干小棒，汉代（约）算筹数值如下表： 用算筹表示数时，从右至左依次先纵后横交错排列，若出现斜棒，则表示负数，如“”表示36，“ ”表示﹣723，函数f（x）=3xlnx﹣x3+83的极大值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】f′（x）=3（lnx+1）﹣3x2..令f′（x）=0，方程f′（x）=0的根，就是y=lnx与y=x2﹣1的交点， 如图所示，方程f′（x）=0的根为x1，x2．且x2=1是极大值点，求出极值即可． 【解答】解：函数f（x）=3xlnx﹣x3+83，f′（x）=3（lnx+1）﹣3x2 令f′（x）=0，方程f′（x）=0的根，就是y=lnx与y=x2﹣1的交点， 如图所示，方程f′（x）=0的根为x1，x2．且x2=1．是极大值点， 函数f（x）=3xlnx﹣x3+83的极大值是f（1）=82， 故选：C 【点评】本题考查了数学文化、利用导数求极值，解题关键是要找到极值点，属于中档题． 7. 函数在区间上的最大值和最小值分别为        (　　) A.     B.   C.    D. 参考答案： A 略 8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，且满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 将化简为，再利用平移变换得到，再根据满足，则有图象关于对称求解. 【详解】因为， 所以， 又因为满足， 所以图象关于对称， 所以， 解得， 又因为， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 9. 等差数列{a}中，如果，，数列{a}前9项的和为 A. 297  B. 144 C. 99  D. 66 参考答案： C 由，得。由，德。所以，选C. 10. 已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝(　　)     A．(0,1)       B．(0, 2]          C．(1,2)        D．(1,2] 参考答案： 【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法．A1  【答案解析】D  解析：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D 【思路点拨】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则的最大值为　　　　. 参考答案： 【知识点】二倍角公式；基本不等式C6 E6   解析： 因为，所以，所以原式，故答案为。 【思路点拨】利用二倍角公式把原函数化简，再利用基本不等式即可。 12. 已知函数（且）的最小值为，则展开式的常数项是            (用数字作答) 参考答案： 略 13. 已知曲线恒过点，当a，b变化时，所有这曲线上满足的点组成的图形面积等于        。 参考答案： 略 14. 函数的最小值是_________________。 参考答案： 15. 已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值为_____________. 参考答案： 或或 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值是_______． 参考答案： 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因此，，，即周长的最大值是． 17. 若是偶函数，则____________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵.早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图． （Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？ （Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？ （III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望． 参考答案： （Ⅰ） 这50路段为中度拥堵的有18个．                ……………………4分 （Ⅱ）设事件A “一个路段严重拥堵”，则 事件B “至少一个路段严重拥堵”，则 所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是    …………8分 （III）分布列如下表： 30 36 42 60 0.1 0.44 0.36 0.1 此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟．     ……………12分   略 19. 已知函数. （1）求的值及f(x)的最小正周期； （2）若函数f(x)在区间上单调递增，求实数m的最大值. 参考答案： （1）1；π；（2）. 【分析】 （1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可； （2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值. 【详解】（1）由已知. 因为， 所以函数的最小正周期为． （2）由得，. 所以，函数的单调增区间为，． 当时,函数的单调增区间为， 若函数在区间上单调递增，则， 所以实数的最大值为. 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20. 下列四个命题： ①直线与圆恒有公共点； ②为△ABC的内角，则最小值为； ③已知a，b是两条异面直线，则过空间任意一点P都能作并且只能作一条直线与a，b都垂直； ④等差数列{}中，则使其前n项和成立的最大正整数为2013; 其中正确命题的序号为              。（将你认为正确的命题的序号都填上） 参考答案： ①③ 略 21. 已知函数的最小正周期为.    （1）求的单调递增区间；    （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足，求函数的取值范围. 参考答案： 解：（1） …………2分 ∵  …………4分 ∴的单调递增区间为  …………6分 （2）∵  ∴  …………8分  ……10分 ∵ ∴    …………12分 略 22. 已知函数，， （1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围． 参考答案： （1） （2） 【分析】 （1）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围． （2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可． 【详解】（1）由题意，函数，， 令t=x2，则t∈[1，3]，则， 要使得函数f（x）有两个零点，即函数y=h（t）与y=a有两个交点， 因为，当t∈（1，2）时，＜0；当t∈（2，3）时，＞0， 所以函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增， 从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5， 由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点， 所以函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：． （2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]， 当m=0时，，显然成立； 当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，所以， 记， 由对任意的，总存在，使成立，可得， 所以且，解得， 当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，所以， 所以且，截得， 综上，所求实数m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数取得函数的最值或值域，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．