湖北省恩施市利川南坪中学2023年高二数学理联考试卷含解析

湖北省恩施市利川南坪中学2023年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则（  ）． A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得. 【详解】由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有个；事件A包含的基本事件有个；在事件A发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为个，而总的基本事件为，故所求概率为,故选A. 【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解. 2. 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是  （    ） A．(-1,2)    B．(-∞,-3)∪(6,+∞)      C．(-3,6) D．(-∞,-1)∪(2,+∞) 参考答案： B 3. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（　　） A．2π B．4π C．8π D．16π 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2， 底面为等腰直角三角形，如图：SA⊥平面ABC，SA=2，AC的中点为D， 在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点，∴OS=OC=OA=OB， ∴O为三棱锥外接球的球心，R=， ∴外接球的表面积S=4π×=8π． 故选：C． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键． 4. 执行右方的程序框图，若输出S＝2550，则判断框处为 A．k≤50？            B．k≥51？            C．k＜50？            D．k＞51？ 参考答案： A 根据题意可知该循环体执行以下计算： 第一次：s＝2，k＝2；第二次：s＝2+4，k＝3； 第三次：s＝2+4+6，k＝4；第四次：s＝2+4+6+8，k＝5； ．．．．．．．．． 计算至k＝50时S＝2550，随后k＝51，则判断框里面应该填写k≤50？，故选A． 5. 用秦九韶算法计算多项式 当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（     ） A．6，6        B. 5,  6          C. 5,  5        D. 6,  5 参考答案： A 6. 复数,则( ) A. B. C.2 D.－1 参考答案： B 7. 过点（2，1）的直线中，被圆截得的弦长为最大的直线方程为 （  ）    A．     B.                                  C．          D． 参考答案： A 略 8. 下列命题中正确命题的个数是                                    (    ) ①         ② ③                ④ A．1          B．2          C．3          D．4 参考答案： C 9. 函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（　　） A． B．﹣ C． D． 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值． 【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣， 故选：D． 10. 圆上的点到直线的距离最大值是（    ） A．    B．   C．    D． 参考答案： B   解析：圆心为 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设集合，那么点P（2，3）的充要条件是                          参考答案： m<-1,n<5 略 12. 三棱锥的两侧面PAB,PBC都是边长为2的正三角形，AC=，则二面角A-PB-C的大小为__________． 参考答案： 略 13. 若下表数据对应的y关于x的线性回归方程为，则a=　　． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 参考答案： 0.35 【考点】线性回归方程． 【专题】概率与统计． 【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可． 【解答】解：由题意可知： =4.5． ==3.5 因为回归直线经过样本中心，所以3.5=0.7×4.5+a， 解得a=0.35． 故答案为：0.35． 【点评】本题考查回归直线方程的应用，回归直线经过样本中心是解题的关键． 14. 对实数a和b，定义运算“?”：a?b=，设函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2），x∈R，若函数y=f（x）+c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】函数的零点与方程根的关系． 【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）+c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=﹣c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围． 【解答】解：∵， ∴函数f（x）=（x2﹣2）?（x﹣x2）=， 由图可知，当﹣c∈， 即c∈ 函数f（x） 与y=﹣c的图象有两个公共点， ∴c的取值范围是， 故答案为：． 15. 若双曲线上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为　　　　　　． 参考答案： 9 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 求出双曲线的a，b，c，运用双曲线的定义，求得|PF2|=1或9，讨论P在左支和右支上，求出最小值，即可判断P的位置，进而得到所求距离． 解答： 解：双曲线=1的a=2，b=2，c==4， 设左右焦点为F1，F2． 则有双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4， 由于|PF1|=5，则有|PF2|=1或9， 若P在右支上，则有|PF2|≥c﹣a=2， 若P在左支上，则|PF2|≥c+a=6， 故|PF2|=1舍去； 由于|PF1|=5＜c+a=6， 则有P在左支上，则|PF2|=9． 故答案为：9 点评： 本题考查双曲线的方程和定义，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题． 16. “m=3”是“椭圆的焦距为2”的　    　．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”） 参考答案： 充分不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分必要条件的定义结合椭圆的性质求出即可． 【解答】解：若m=3， 则c2=4﹣3=1，c=1，2c=2， 椭圆的焦距是2，是充分条件， 若椭圆的焦距是2，则c=1， 故m﹣4=1或4﹣m=1， 解得：m=5或m=3，不是必要条件， 故答案为：充分不必要条件． 17. 现有如下四个命题： ①若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分 ②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点 P(x,)的轨迹是抛物线的一部分 ③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆 ④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线 上述四个命题中真命题为　  　．（请写出其序号） 参考答案： ①②③ 【考点】曲线与方程． 【分析】利用直译法，求①选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹； 利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可． 【解答】解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴，化简得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4）， ∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，①正确； ∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，设P（x，y），则y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，②正确； 由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切 ∴MA=r+1，MB=5﹣r ∴MA+MB=6＞AB=2 ∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，③正确； 设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y）， ∵椭圆过A、B两点，则 CA+DA=CB+DB， ∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB， ∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，④错误 故答案为：①②③． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数： 甲：10　9　10　10　11　11　9　11　10　10 乙：8　10　14　7　10　11　10　8　15　12 估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些， 哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性． 参考答案： 19. (本大题13分）为了了解育才中学学生的体能情况，体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳测试，并将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如下图）。已知图中从左到右的前三个小组频率分别是0.1,0.3,0.4，第一小组的频数是5. （1）求第四组的频率和参加这次测试的学生人数； （2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？ （3）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？ 参考答案： 解：(Ⅰ) 第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2， 因为第一小组的频数为5，第一小组的频率为0.1， 所以参加这次测试的学生人数为5?0.1=50（人）. (Ⅱ) 0.3′50=15，0.4′50=20，0.2′50=10，则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内. (Ⅲ 跳绳成绩的优秀率为（0.4+0.2）′100%=60%. 略 20. 如图1－2，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A. (1)求实数b的值； (2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．