湖北省荆州市文星中学2021年高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市文星中学2021年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的零点个数为   A.3                B.2                C.1               D.0 参考答案： B 2. 已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合． 解答： 解：由于f（x）=x+cosx， ∴f′（x）=x﹣sinx， ∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD， 又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合， 故选：A． 点评： 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题． 3. 某四面体的三视图如图所示，且四个顶点都在一个球面上，则球面的表面积为（　　） A． B．5π C．7π D． 参考答案： D 【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】由三视图想象出空间几何体，进而求出几何体外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案． 【解答】解：该几何体的底面是边长为1的正三角形，侧棱垂直于底面，长度为， 设球心到底面中心的距离为d，球的半径为r，则 ∵正三角形的外接圆的半径为， ∴r2=（）2+=， ∴球面的表面积为4πr2=． 故选：D． 【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查了由三视图得到直观图，其中几何体的形状判断是解答的关键，属于中档题． 4. 如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是（     ） A． B． C． D． 参考答案： A 5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 A.0.5 B.1 C.2 D.4 参考答案： D 6. 在中，，点为边上一点，且， 则（　 ） (A) 3             (B)2            (C)               (D) 参考答案： D 因为，∴，∴选D.（另：本小题也可以建立坐标系去计算） 7. 已知点A (1,0)，点B在曲线上，若线段AB与曲线相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点，那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为 （    ） A．0   B．1   C．2   D．4 参考答案： B 设则的中点为所以有，因此关联点的个数就为方程解得个数，由于函数在区间上分别单调增及单调减，所以只有一个交点，选Ｂ.   8. 若不等式组的解集中所含整数解只有-2，求的取值范围(    ) A.    B． C． D． 参考答案： A 9. 已知z1=1﹣3i，z2=3+i，其中i是虚数单位，则的虚部为（　　） A．﹣1 B． C．﹣i D． 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解： ===的虚部为． 故选：B． 10. 设，则二项式展开式的常数项是（　　） A．160 B．20 C．﹣20 D．﹣160 参考答案： D 【考点】二项式定理；定积分． 【分析】利用微积分基本定理求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于0，求出常数项． 【解答】解： =﹣cosx|0π=2 ∴=展开式的通项为Tr+1=（﹣1）r26﹣rC6rx3﹣r 令3﹣r=0得r=3 故展开式的常数项是﹣8C63=﹣160 故选D． 【点评】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有______________项。 参考答案： 13 略 12. 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是__________ 参考答案： 10 略 13. 【文科】若函数，则        . 参考答案： 因为，由得，，即，所以。 14. 已知，则的值是        。 参考答案： 答案: 247   15. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是        ． 参考答案： 16. 随机变量ξ服从正态分布N(40, )，若P(ξ<30)=0.2，则P(30<ξ<50)=        .  参考答案： 0.6 ， 所以 17. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数，则的表达式为          . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC=2． （Ⅰ）当GB=GF时，求证：EG∥平面ABC； （Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值； （Ⅲ）是否存在点G满足BF⊥平面AEG？并说明理由． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）当GB=GF时，根据线面平行的判定定理即可证明EG∥平面ABC； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值； （Ⅲ）根据线面垂直的判定定理和性质定理，建立条件关系即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接GD，CD， 又GB=GF，所以． 因为，所以，四边形GDCE是平行四边形， 所以CD∥EG 因为EG?平面ABC，CD?平面ABC 所以EG∥平面ABC． （Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC， 且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC， 所以AF⊥AB，AF⊥BC 因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF． 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz． 则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），是平面ABF的一个法向量． 设平面BEF的法向量n=（x，y，z），则，即 令y=1，则z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以， 由题知二面角E﹣BF﹣A为钝角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值为． （Ⅲ）因为，所以BF与AE不垂直， 所以不存在点G满足BF⊥平面AEG． 19. 已知函数； 1.       求函数的单调区间； 2.       设，求证： 3.       设，求证： 参考答案： （3）.由（2）知，即， ，                              ……… ……………………13分 20. （本小题满分13分） 如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围． 参考答案： 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．H8  H9  【答案解析】（Ⅰ）x2－＝1（x＞1）．（Ⅱ）(1，7)． 解析：（Ⅰ）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．…………………1分 当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．…………………2分 当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有 ∵m＜2，∴1＜m＜2．                       …………………10分 设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有 故的取值范围是(1，7)．……………………………………………………14分 【思路点拨】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=-2x+m与3x2-y2-3=0（x＞1）联立，消元可得x2-4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内,可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用＝，即可确定的取值范围． 21. 能否选择1983个不同的正整数都不大于105，且其中没有三个正整数是算术级数中的连续项，并证明你的论断． 参考答案： 证明：考虑三进制表示中，不含数字2并且位数≤11的数所成的集合M． 显然|M|＝211－1＞1983．M中最大的数为 若x、y、z∈M并且x＋z＝2y，则由于2y的各位数字为0或2，所以x＋z的各位数字也为0或2．从而x、z在同一位上的数字同为0或同为2，即x＝z．因此M中任三个互不相同的数不成等差数列． 于是回答是肯定的，M即是一例． 22. （本小题满分12分） 已知等比数列{an}的前n项和.设公差不为零的等差数列{bn}满足： . （1）求a及bn； （2）设数列的前n项和为Tn．求使Tn＞bn的最小正整数n的值.  参考答案： (Ⅰ) 当n＝1时，a1＝S1＝2－a．……………………1分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n-1． 所以1＝2－a，得a＝1， 所以an＝2n-1． ……………………………………………….3分 设数列{bn}的公差为d，由b1＝3，(b4＋5)2＝(b2＋5)(b8＋5)，得 (8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)， 故d＝0 (舍去)  或  d＝8． 所以a＝1，bn＝8n－5，n∈N*．………………………….6分 (Ⅱ) 由an＝2n-1，知＝2(n－1)． 所以Tn＝n(n－1)．………………………………………8分 由bn＝8n－5，Tn＞bn，得 n2－9n＋5＞0，……………………………………………10分 因为n∈N*，所以n≥9． 所以，所求的n的最小值为9． ………………………12分