湖南省衡阳市耒阳市马水中学2023年高三数学文测试题含解析

湖南省衡阳市耒阳市马水中学2023年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，则不等式f(-1)＜f(lg x)的解集是 (   ) (A)(0，10) (B)(,10) (C)(,+∞) (D)(0,)∪(10,+∞) 参考答案： D 略 2. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可． 【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件， 而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件， 如图示： ， 直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切， 故选：A． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题． 3. 设集合，则使M∩N＝N成立的的值是（   ）           A．1　　　 B．0          C．－1    D．1或－1 参考答案： C 4.  .已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为(    )   A.                B.            C.            D. 不存在 参考答案： A 5. 已知是半径为1的球面上三个定点，且，高为的三棱锥的顶点位于同一球面上，则动点的轨迹所围成的平面区域的面积是（    ） A．  B．  C．  D． 参考答案： D 试题分析：设所在截面圆圆心为，由于到平面距离相等，因此点在与平面平行的平面内，设此平面截球面得截面圆圆心为，则，计算可得，由于，因此点不能在线段上，而，因此在线段上，，截面圆半径为，则，．故选D． 考点：球的截面的性质． 【名师点睛】解决球的问题必须掌握球的截面的性质：球心与截面圆圆心连线与截面圆所在平面一定垂直．这一点与圆的垂径定理很相似． 6. 若复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： A ∵=1﹣i，∴z=， ∴， 则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限． 故选：A． 7. 设，，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 【分析】 根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】若， ，则，可得； 若，可得，无法得到， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查充要条件定义，判断充要条件的方法是： ①    若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②    若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③    若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④    若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件. ⑤    判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.   8. 已知＜x＜，则tan为 A. B. C.2 D. 参考答案： A ，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A. 9. 若双曲线的一条渐近线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为                                                            A． B． C．2 D．4 参考答案： C 由题意得渐近线方程为 故选   10. 设函数，其中，若仅存在两个正整数x0使得，则a的取值范围是（    ） A．   B.  C.  D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则__________． 参考答案： 或 由余弦定理可得， 将，，，代入得，解得或． 12. 若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=　 　，展开式中的常数项为　 　．（用数字作答） 参考答案： 6，15. 【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理． 【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求． 【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6； 则， 由． 令3﹣，得r=2． ∴展开式中的常数项为． 故答案为：6；15． 【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 13. 在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是               。 参考答案： 14. 已知的三个角、、成等差数列，对应的三边为、、，且、、成等比数列，则          ． 参考答案： 15. 在△ABC中，，则的值为 参考答案： 略 16. 设不等式的解集为M，如果，则实数的 范围是_____ 参考答案： 17. 曲线在点处的切线方程是      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值点； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （1）因为，求导得，令，解得， …………2分 又函数的定义域为，当时，；当时， ， 所以函数在单调递增；在单调递减 有极大值点；无极小值点。                          …………4分 （2）由恒成立，得恒成立， 即恒成立。令 ,………5分 ①若 故有不符合题意.                              …………7分 ②若 从而在上，…9分 ③若 从而…………11分 综上所述，的取值范围是.                       …………12分 19. （本题满分10分）公差不为零的等差数列成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设。 参考答案： 略 20. 已知函数f（x）=alnx++1． （Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值； （Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴． ∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到， 而f（1）=，f（）=，f（e）=， ∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ），x∈（0，+∞）． ①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去） ∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（） 即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a） 整理得ln（a+1）＞﹣1 ∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21. 参考答案： 略 22. 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：   喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性   5   女性 10     合计     50 已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整； （Ⅱ）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由； （Ⅲ）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数，求ξ的分布列和数学期望． 下面的临界值表仅供参考： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：，其中n=a+b+c+d） 参考答案： 【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，可得喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而可得列联表； （Ⅱ）利用列联表，计算，与临界值比较，可得结论； （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． ∴喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：   喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 20 5 25 女性 10 15 25 合计 30 20 50 （Ⅱ） ∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关； （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，则 P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）= ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=． 【点评】本题考查概率与统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算概率是关键．