2021-2022学年江西省宜春市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列事件是随机事件的是( )A. 离离原上草，一岁一枯荣 B. 太阳每天从东方升起C. 打开电视，正在播放新闻 D. 钝角三角形的内角和大于180°2. 下列说法正确的是( )A. 三点确定一个圆 B. 任何三角形有且只有一个内切圆C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 正多边形一定是中心对称图形3. 如图，正六边形ABCDEF的半径OA=2，则点B的坐标为( )A. (−3,1)B. (−1,3)C. (−2,−3)D. (−3,2)4. 如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数为( )A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°5. 如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A′BC′D′.此时点A的对应点A′恰好落在对角线AC的中点处．若AB=3，则点B与点D′之间的距离为( )A. 3B. 6C. 33D. 636. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)形状如图，下列结论：①b>0；②a−b+c=0；③当x<−1或x>3时，y>0.④一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根．正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7. 点A(1,5)关于原点对称，得到点A′，那么A′的坐标是______．8. 若方程x2−2x−3=0两根为α、β，则α2+β2=______．9. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在10%和30%，则口袋中白色球的个数很可能是______个．10. 圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是______度．11. 如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形BAC的弧AC的点B′处，点C的对应点为点C′，则阴影部分的面积为______．12. 如图，半圆O的直径DE=12cm，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm.当t=______时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13. (本小题6.0分)(1)解方程：x2−2x−8=0；(2)关于x的方程x2+4x+m+2=0有两个相等的实根，求方程的根．14. (本小题6.0分)已知PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，BC垂直PA于C，请只用无刻度直尺，按要求画图，保留作图痕迹．(1)如图1，连接AB，并作出线段AB的中点D；(2)如图2，连接OB，过点A作线段AE平行OB交PB于点E．15. (本小题6.0分)已知二次函数y=x2−kx+k−5．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式；(2)当x≤1时，y随x增大而减小，求k的取值范围．16. (本小题6.0分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列问题：(1)在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2，请作出△AB2C2，并求出点C到点C2的路径长．17. (本小题6.0分)如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷泉水流的运动路线是抛物线，水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m，以B点为原点，地面水平线和AB所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．18. (本小题8.0分)某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．(1)为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；(2)经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？19. (本小题8.0分)如图，AB是⊙O的一条弦，点C是半径OA的中点，过点C作OA的垂线交AB于点E，且与BE的垂直平分线交于点D，连接BD．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为23，CE=1，试求BD的长．20. (本小题8.0分)我市“垃圾分类”工作越来越好，但还是有不少人缺乏分类意识．某小区分设了四个不同的垃圾分类投放桶，分别为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”“其他垃圾”．(1)上面图标(不包含文字)是中心对称图形的是______(填序号)；(2)小明帮助妈妈做家务，拿着一袋厨余垃圾去，因天黑看不清，小明随便扔进了一个垃圾桶，请直接写出小明投放正确的概率：______；(3)然后他又随手将旧报纸和废弃电池扔到其中两类垃圾桶中，那么他恰好正确分类的概率是多少？(画树状图或列表求解)(以上行为均不提倡)21. (本小题9.0分)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x(s)．(1)BP=______cm，CQ=______cm(用含x的式子表示)；(2)若PQ=42cm时，求x的值；(3)当x为何值时，△DPQ将成为以DP为斜边的直角三角形．22. (本小题9.0分)(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE.则：①∠AEB的度数为______；②线段BE，CE与AE之间的数量关系是______．(2)拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上．若CE=2，BE=2，求AB的长度．(3)探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．23. (本小题12.0分)如图，定义：直线l：y=mx+n(m<0,n>0)与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．(1)若l：y=−2x+2，则求它的纠缠抛物线的函数解析式；(2)判断并说明y=−2x+2k与y=−1kx2−x+2k是否“互为纠缠线”；(3)在(1)中，P是l的纠缠抛物线在第二象限上的一个动点，求△PCD的最大面积．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：A.离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，因此选项A不符合题意；B.太阳每天从东方升起，是必然事件，因此选项B不符合题意；C.打开电视，可能正在播放新闻，也可能不是，是随机事件，所以选项C符合题意；D.钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件，因此选项D不符合题意；故选：C．根据随机事件的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．本题考查随机事件，理解随机事件的定义是正确判断的前提．2.【答案】B 【解析】解：A.不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故A不符合题意；B.任何三角形有且只有一个内切圆，故B符合题意；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；D.正多边形一定是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故D不符合题意；故选：B．根据确定圆的条件，中心对称图形，圆心角、弧、弦的关系，三角形的内切圆与内心逐一判断即可．本题考查了确定圆的条件，中心对称图形，圆心角、弧、弦的关系，三角形的内切圆与内心，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．3.【答案】A 【解析】解：连接OB，∵正六边形ABCDEF的半径OA=OD=2，∴OB=OA=AB=2，∠ABO=∠60°，∴∠OBH=60°，∴BH=12OB=1，OH=OBcos∠OBH=32×2=3，∴B(−3,1)，故选：A．根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，关于原点对称的点的坐标，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．4.【答案】B 【解析】解：连接OC、OD，∵AD=CD，∴AD=CD，∴∠AOD=∠COD，∵∠AOC=2∠B=2×50°=100°，∴∠AOD=50°，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=180°−50°2=65°，即∠DAE=65°，故选：B．连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD=50°，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE=65°．本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建等腰三角形．5.【答案】B 【解析】解：连接BD′， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，∵点A′是AC的中点，∴A′A=A′B，∵将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形A′BC′D′，∴AB=A′B，BD′=AC=BD，∴AB=A′B=A′A，∴△AA′B是等边三角形，∴∠BAA′=60°，∴∠ACB=30°，∵AB=3，∴AC=2AB=6，∴BD′=6．即点B与点D′之间的距离为6．故选：B．连接BD′，由矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，由旋转的性质得出AB=A′B，BD′=AC=BD，证明△AA′B是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BAA′=60°，由直角三角形的性质求出AC的长，由矩形的性质可得出答案．本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是本题的关键．6.【答案】B 【解析】解：由抛物线开口向上，可知a>0，对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，b<0，因此①不符合题意；由对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，可知与x轴另一个交点为(−1,0)，代入抛物线得a−b+c=0，因此②符合题意；由图象可知，当x<−1或x>3时，图象位于x轴的上方，即y>0.因此③符合题意；由图像知，抛物线与y=−1一定有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根，因此④符合题意；综上，正确的有3个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，数形结合和方程思想在解题中得以充分体现．7.【答案】(−1,−5) 【解析】解：点A(1,5)关于原点对称，得到点A′，那么A′的坐标是：(−1,−5)．故答案为：。
