湖北省鄂州市第四中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省鄂州市第四中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  函数的最小值为（     ） A． 1103×1104   B． 1104×1105    C． 2006×2007    D． 2005×2006 参考答案： A 2. 若四边形满足：,（），，则该四边形一定（   ） A．矩形             B．菱形      C．正方形         D．直角梯形 参考答案： B 略 3. 已知集合，集合满足，则集合有（   ） A. 1个       B. 2个      C. 3个       D. 4个 参考答案： D 略 4. 设，，，则（ ） A．     B．    C．      D． 参考答案： D 5. 给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： B 6. 要得到函数的图像，只要将函数的图像(    ) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 参考答案： C 7. 如图，网格纸上小正方形的边长1，粗线描绘的是某几何体的三视图，其中主视图和左视图相同如右上，俯视图在其下方，该几何体体积为        （    ） A.        B.5π          C.        D. 参考答案： C 由三视图，该几何体是一个组合体， 组合体上面是一个半径为的半圆， 下面是一个圆台，高为，上底面半径为，下底面半径为， 所以组合体体积为： ，故选C.   8. 已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是(     ) A．[，5] B．[0，5] C．[0，5） D．[，5） 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合；不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围． 【解答】解：由约束条件作可行域如图， 联立，解得， ∴A（2，﹣1）， 联立，解得， ∴． 令u=2x﹣2y﹣1， 则， 由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小， u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5； 当经过点时，直线在y轴上的截距最大， u最小，最小值为u=． ∴， ∴z=|u|∈[0，5）． 故选：C． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，求z得取值范围，转化为求目标函数u=2x﹣2y﹣1的取值范围，是中档题． 9. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为 A．       B．        C．        D． 参考答案： C 10. 下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　） A．y=ln（x+1） B．y=2﹣x C．y= D．y=cosx 参考答案： B 【考点】函数单调性的性质． 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】逐一判断各个选项中函数在区间（﹣1，1）上的单调性，从而得出结论． 【解答】解：由于y=ln（x+1）在区间（﹣1，1）上为增函数，故排除A； 由于函数y=2﹣x =在区间（﹣1，1）上为减函数，故满足条件； 由于函数y==﹣在区间（﹣1，1）上为增函数，故排除C； 由于函数y=cosx在区间（﹣1，1）上没有单调性，例如cos（﹣）=cos，故排除D， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若变量，满足约束条件，则的最小值为              ． 参考答案： 12. 已知函数与满足，，且在区间上为减函数，令，则下列不等式正确的有                    ． ①       ②       ③＞       ④ 参考答案： ②④ 13. 在半径为3的球面上有A、B、C三点，球心O到平面ABC的距离是，且，，则B、C两点间的球面距离为         参考答案： 略 14. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为          ． 参考答案： －1   15. 如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝  ▲  ． 参考答案： －3 在中，由余弦定理可得：，由题意可得：，，故.   16. 为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为                               ； （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过             小时后，学生才能回到教室。 参考答案： 答案：（I）（II）     解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得 （II）由题意可得，即得或或           ，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 点评：本题考察函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力。 17. 已知与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2，则在上的投影为     ． 参考答案： ﹣ 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】因为向量与的夹角为120°，所以在上的投影为cos120°=﹣，问题转化为求． 【解答】解：∵与的夹角为120°，若（+）⊥（﹣2）且||=2， ∴（+）?（﹣2）=0，即﹣﹣22=0， ∴4+﹣22=0，解得=， ∴在上的投影为cos120°=﹣=﹣×=﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点， E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.                               (1) 求证：平面PCD⊥平面PAD； (2) 求二面角G-EF-D的大小； (3) 求三棱椎D-PAB的体积. 参考答案： （2） 如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz.            则有关点及向量的坐标为: ………………………………4分 G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1） =（0，-1，0），=（1，1，-1）……5分 设平面EFG的法向量为=（x，y，z） ∴       取=(1,0,1) ………………………………………………………………6分 平面PCD的一个法向量, =(1,0,0)…………………………………7分 ∴cos………………………………8分 结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°……………………………9分 PD=………………12分 略 19. 已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m． （1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）； （2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围． 参考答案： 解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0， 当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）； 当a＞1时，解集为全体实数R； 当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）． （Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立， 即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分） 又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5， 故m的取值范围是（﹣∞，5）． 略 20. （1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣，求抛物线的标准方程； （2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，﹣），（，），求双曲线的标准方程． 参考答案： 解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0）， ∵抛物线的准线方程为x=﹣， ∴=，解得p=， 故所求抛物线的标准方程为y2=x． （2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）， 代入点（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=， ∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1 考点：双曲线的标准方程；抛物线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程； （2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入点（，﹣），（，），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程． 解答：解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0）， ∵抛物线的准线方程为x=﹣， ∴=，解得p=， 故所求抛物线的标准方程为y2=x． （2）设双曲线方程为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）， 代入点（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=， ∴双曲线的标准方程为x2﹣y2=1． 点评：本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考查双曲线方程，属于基础题． 21. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面. （1）求证：DE⊥平面PAE； （2）求三棱锥的体积. 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）由题意得为正三角形，所以，结合余弦定理，可得，，即，又根据线面垂直的性质定理可得，再根据线面垂直的判断定理，即可得证。 （2）由题意得 ，代入数据，即可求解。 【详解】（1），， ，又，为正三角形， 又，， 由余弦定理可知， ，根据勾股定理可知. 又，，. （2）， ， 即三菱锥的体积为. 【点睛】 本题考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握程度，属基础题。 22. 如图，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中点，E,G分别为PC,CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG;（Ⅱ）当二面角G-EF-D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值. 参考答案： (Ⅰ)证明：是的中点时,////,//,//平面, //平面,,平面//平面,平面, //平面.……………………………………………………..………(6分) (Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有,,,,设, ,,平面的法向量,则有 ,解得. . 平面的法向量,依题意, , .于是. 平面的法向量,, ,则有 ,解得. . 与平面所成角为,则有, 故有.………………………………………………………………(12分)