湖北省襄阳市南漳县第二中学高一数学文上学期期末试卷含解析

湖北省襄阳市南漳县第二中学高一数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等腰三角形一个底角的正弦值为，则这个三角形顶角的正切值为 A．     B．       C．         D．   参考答案： B 略 2. 已知角的终边经过点，则（　　） A. 5 B. C. D. －5 参考答案： A 【分析】 根据任意角三角函数定义求得，利用两角和差正切公式求得结果. 【详解】由任意角的三角函数定义可知： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求解正切值，涉及到三角函数的定义，属于基础题. 3. 设等差数列{ a n }的前n项和为S n，且S 1 = 1，点( n，S n )在曲线C上，C和直线x – y + 1 = 0交于A、B两点，| AB | =，那么这个数列的通项公式是（    ） （A）a n = 2 n – 1    （B）a n = 3 n – 2    （C）a n = 4 n – 3    （D）a n = 5 n – 4 参考答案： C 4. 设为定义在上的奇函数，当时，，则等于（    ） A.        B.1         C.         D. 参考答案： D 5. 若函数的图象（部分)如下图所示，则和的取值是 A. B. C. D. 参考答案： D 6. 已知函数,则函数的反函数的图象可能是（     ） 参考答案： D 略 7. 函数的单调递增区间为（     ） A.        B.          C.         D. 参考答案： A 8. =（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 直接利用诱导公式计算得到答案. 【详解】. 故选：D. 【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题. 9. 若函数的值域是，则的最大值是________. 参考答案： 略 10. 已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论： ①f（x1+x2）=f（x1）?f（x2） ②f（x1?x2）=f（x1）+f（x2） ③＞0 ④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2） 其中正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 参考答案： A 【考点】指数函数的图象与性质． 【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误； 根据函数f（x）=3x的单调性可以判断③正确． 【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）： ①f（x1+x2）==?=f（x1）?f（x2），∴①正确； ②f（x1?x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∴②错误； ③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∴③正确； ④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∴④错误； 综上，正确结论的序号是①③． 故选：A． 【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）若光线从点A（﹣3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线A到B的距离为           ． 参考答案： 5 考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 计算题；直线与圆． 分析： 求出设关于x轴的对称点A'坐标，由两点间的距离公式，可得光线A到B的距离． 解答： 解：A关于x轴的对称点A′坐标是（﹣3，﹣5） 由两点间的距离公式，可得光线A到B的距离为=5． 故答案为：5． 点评： 本题考查点的对称，考查两点间的距离公式，比较基础． 12. 数列的各项为正数，其前n项和-满足，则=            。 参考答案： ； 13. 东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高1元，便减少5张床租出；再提高1元，又再减少5张床租出，依次变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金                  元 参考答案： 5 14. 函数y=lg(ax2+ax+1）的定义域为R，则实数a的取值范围为             参考答案： [0,4) 15. 平面向量，，．若对任意实数t都有，则向量　  　. 参考答案： 设 ， 由于对任意实数都有， 化为：， ∵对任意的实数上式成立，∴ ， ∴∴ ， 解得，∴ .   16. 若=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用=（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，计算数量积结合cosθ≠1，推出λ的取值范围． 【解答】解： =（λ，2），=（3，4），且与的夹角为锐角，cosθ＞0且cosθ≠1， 而cosθ==，∴λ＞﹣且8+3λ≠5×，即λ＞﹣且λ≠． 故答案为：． 17. 圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣43）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可． 【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆； 又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可． 设圆心C′（3，0）到直线y=kx﹣2的距离为d， 则d=≤2，即5k2﹣12k≤0， ∴0≤k≤． ∴k的最大值． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数。 参考答案： 解析：设此数列的公比为，项数为， 则 ∴项数为  19. 已知集合A＝{|a＋1|,3,5}，B＝{2a＋1,a2＋2a,a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B． 参考答案： 解：∵A∩B＝{2,3} ∴2∈A ∴|a＋1|＝2 ∴a＝1或a＝－3 ①当a＝1时，2a＋1＝3，a2＋2a＝3，∴B＝{3,3,2}，矛盾． ②当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2,∴B＝{－5,2,3} ∴A∪B＝{－5,2,3,5}． 略 20. 已知二次函数的最小值为1，且. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求的取值范围． 参考答案： 即.………………………………8分 （设也可以，请酌情给分） (2)由条件知，∴.………………………………14分 （求在区间上单调，然后再取其补集是可以的，但是要注意到题设中所暗含条件）   21. 已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且曲线y=f（x）在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线y=g（x）在其与x轴的交点处的切线记为l2，且l1∥l2． （1）求l1，l2之间的距离； （2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围； （3）对于函数f（x）和g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差．求证：函数f（x）和g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 参考答案： （1）；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求l1，l2之间的距离； （2）利用分离参数法，求出h（x）=x-ex的最大值即可； （3）根据偏差的定义，只需要证明的最小值都大于2． 【详解】（1）f′（x）=aex，g′（x）=， y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a）， y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0）， 由题意得f′（0）=g′（a），即a=， 又∵a＞0，∴a=1． ∴f（x）=ex，g（x）=lnx， ∴函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为： x-y+1=0，x-y-1=0， ∴两平行切线间的距离为. （2）由＞，得＞， 故m＜x-ex在x∈[0，+∞）有解， 令h（x）=x-ex，则m＜h（x）max， 当x=0时，m＜0； 当x＞0时，∵h′（x）=1-（+）ex， ∵x＞0， ∴+≥2=，ex＞1， ∴（+）ex＞， 故h′（x）＜0， 即h（x）在区间[0，+∞）上单调递减， 故h（x）max=h（0）=0，∴m＜0， 即实数m的取值范围为（-∞，0）． （3）解法一： ∵函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）， ∴F′（x）=ex-，设x=t为F′（x）=0的解， 则当x∈（0，t），F′（x）＜0；当x∈（t，+∞），F′（x）＞0， ∴F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增， ∴F（x）min=et-lnt=et-ln=et+t， ∵F′（1）=e-1＞0，F′（）=-2＜0，∴＜t＜1， 故F（x）min=et+t=+＞+=2， 即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． 解法二： 由于函数y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞）， 令F1（x）=ex-x，x∈（0，+∞）；令F2（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）， ∵F1′（x）=ex-1，F2′（x）=1-=， ∴F1（x）在（0，+∞）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， ∴F1（x）＞F1（0）=1，F2（x）≥F2（1）=1， ∴F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）＞2， 即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题. 22. （9分）在△ABC中，三内角A、B、C及其对边a、b、c，满足， （Ⅰ）求角的大小     （Ⅱ）若=6，求△ABC面积. 参考答案： 、解：（Ⅰ）   ………………………………………………………5分    （Ⅱ）由余弦定理得：    .                  …………………………9分