湖北省荆门市长寿综合中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省荆门市长寿综合中学2023年高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数, ,则（    ） A． B．  C．  D． 参考答案： A ，选A. 2. 命题“”的否定是(    )     A.            B.     C.            D. 参考答案： C 略 3. 如右上图，已知为如图所示的程序框图输出的结果，二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 (      ) A．                  B．                 C．                D． 参考答案： B 4. 设满足约束条件，若 恒成立，则实数的最大值为(       ) A．                 B．                 C．               D． 参考答案： C 作出可行域，由恒成立知 令，由图可知，当直线与椭圆相切时，最小，消 得：得∴．故选C． 5. 一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体 积是（   ） （A）               （B）                   （C）                    （D） 参考答案： B 试题分析：由三视图可知，这是半个圆柱和三棱柱组成的几何体，所以体积为. 考点：三视图. 6. 球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S—ABC的体积的最大值为（    ） A．                B．                C．            D． 参考答案： D 7. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记A（m,n）表示第m行的第n个数，则A（10,11）= （    ） A、 B、 C、 D、 参考答案： B 略 8. 已知向量(     )       B        C           D  参考答案： B 9. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： ①若；　　　　 ②若； ③如果相交； ④若 其中正确的命题是 （    ）     A．①②             B．②③           C．③④            D．①④ 参考答案： D 10. 设非零向量 ，满足 ，与 的夹角为   A. 60         B．90        C．120       D 150 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集为_______         ___ 参考答案： 略 12. 设函数f（x）的导函数f′（x）=x3﹣3x+2，则f（x）的极值点是　　． 参考答案： ﹣2 考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用． 分析： 直接利用导函数为0，求出方程的解，判断是否是极值点即可． 解答： 解：函数f（x）的导函数f′（x）=x3﹣3x+2， 令x3﹣3x+2=0， 即（x+2）（x2﹣2x+1）=0， 解得x=﹣2或x=1， 当x＜﹣2时，f′（x）=x3﹣3x+2＜0，1＞x＞﹣2时，f′（x）=x3﹣3x+2＞0，x=﹣2是函数的极值点． 当x＞1时，f′（x）=x3﹣3x+2＞0，x=1不是函数的极值点． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查函数的极值点的求法与判断，是易错题，求解方程的根后，必须验证方程的根是否是函数的极值点． 13. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______.    参考答案： 6 14. 已知集合，有下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则可为奇函数； ④若，则对任意不等实数，总有成立． 其中所有正确命题的序号是         ．（填上所有正确命题的序号） 参考答案： ②③ 15. 若存在实数满足，则实数a的取值范围是       。 参考答案： 16. 已知样本，，，，的平均数为1，方差为2，则，，，，的平均数和方差分别是________. 参考答案： 4,2 【分析】 根据平均数和方差的性质直接求解即可. 【详解】由平均数的性质知：每个数加上同一个数，平均数也加上同一个数    由方差的性质知：每个数加上同一个数，方差不变    本题正确结果：， 【点睛】本题考查平均数和方差的性质应用，属于基础题. 17. 在二项式的展开式中，常数项是__________，系数为有理数的项的个数是________． 参考答案： 280     5   【分析】 根据二项式展开式的通项即可求解． 【详解】展开式的通项，若为常数项则 即，,即常数项为280； 由通项可知系数为有理项即为有理数，即k可取，共有5项 所以答案分别为280,5 【点睛】本题考查二项式的展开式，比较基础． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB= 且△ABC的面积为，求b. 参考答案： 解析:由a、b、c成等差数列 得a＋c=2b    平方得a2＋c2=4b2－2ac    ①……2分 又S△ABC＝且sin B=, ∴S△ABC＝ac· sin B=ac×＝ac= 故ac=    ②………………………………………………………………………4分 由①②可得a2＋c2=4b2－    ③…………………………………………………5分 又∵sin B=，且a、b、c成等差数列∴cos B===…………8分 由余弦定理得： b2=a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－2××＝a2＋c2－    ④………10分 由③④可得   b2=4∴b=2………………….…12分 19. 设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且。 （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式； （3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和。 参考答案： （1）证明：当时，，解得． 当时，．即        ∵为常数，且，       ∴．            ∴数列是首项为1，公比为的等比数列． （2）解：由（1）得，，．         ∵， ∴，即． ∴是首项为，公差为1的等差数列．                         ∴，即（）．             （3）解：由（2）知，则． 所以， 即，     ①      则 ② ②－①得，              ． 略 20. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式恰有3个整数解，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）由题意，分类讨论，即求解不等式的解集. （2）由（1）结合函数的单调性，以及，，，，的值，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为，所以当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以不等式的解集为. （2）由（1）知的单调减区间为，单调增区间为， 又，，，，， 所以，所以或， 故的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解及应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理利用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：θ=（ρ＞0），A（2，0）． （1）把C1的参数方程化为极坐标方程； （2）设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先把曲线C1的参数方程化为普通方程，由此能求出C1的极坐标方程． （2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，），将代入ρ=4cosθ，得ρ1=2，将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，由此能求出结果． 【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为为参数）， ∴C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0， ∴C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ． （2）依题意，设点P、Q的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，）， 将代入ρ=4cosθ，得ρ1=2， 将代入ρ=2sinθ，得ρ2=1， ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1， 依题意，点A（2，0）到曲线（ρ＞0）的距离d=|OA|sin=1， ∴S△APQ=|PQ|?d=×（2）×1=． 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题． 22. （本小题13分） 甲乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码，设随机变量（1）求的概率；(2)求随机变量的分布列及数学期望。 参考答案： （1） （2） 当x=1时 (x,y)=(1,2)   (2,1)   (2,3)   (3,2)   (3,4)   (4,3)