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湖北省荆门市钟祥南湖中学2022-2023学年高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 已知函数为偶函数,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
因为根据偶函数的性质可知,要使函数为偶函数,那么可知一次项系数为0,m=2,经验证成立,故选A.
3. 若向量=﹣2,||=4,||=1,则向量,的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】平面向量及应用.
【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角.
【解答】解:由已知向量=﹣2,||=4,||=1,则向量,的夹角的余弦值为:,由向量的夹角范围是[0,π],
所以向量,的夹角为;
故选:A.
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角;熟记公式是关键.
4. 已知向量,若与垂直,则的值等于( )[来
A. B. C.6 D.2
参考答案:
B
5. 已知x,y均为正数且x+2y=xy,则( )
A.
xy+有最小值4
B.
xy+有最小值3
C.
x+2y+有最小值11
D.
xy﹣7+有最小值11
参考答案:
C
6. 的值为
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 集合,,则从到的映射共有( )个
A.6 B.7 C.8 D.9
参考答案:
略
8. (5分)有一个同学开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表,画出散点图后,求得热饮杯关于当天气温x(°C)的回归方程为=﹣2.352x+147.767.如果某天的气温是40°C则这天大约可以卖出的热饮杯数是()
A. 51 B. 53 C. 55 D. 56
参考答案:
考点: 线性回归方程.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 根据所给的一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系,代入x=4,求出y即可.
解答: 如果某天平均气温为40℃,即x=40,
代入=﹣2.352x+147.767=﹣2.352×40+147.767≈53,
故选:B.
点评: 本题考查线性回归方程的应用,即根据所给出的线性回归方程,预报y的值,这是填空题中经常出现的一个问题,属于基础题.
9. 三世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图,现向圆中随机投掷一个点,则该点落在正六边形内的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
设圆的半径为,则圆的面积,正六边形的面积,所以向圆中随机投掷一个点,该点落在正六边形内的概率,故选A.
10. 已知R是实数集,集合,则阴影部分表示的集合是( )
A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1)
参考答案:
B
【分析】
阴影部分对应的集合为A∩B,利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】由题可知阴影部分对应的集合为A∩B,
∵A={x|或},
B={x|0<x},
∴A∩B={x|0<x}=(0,1],
故选B.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足,则=________.
参考答案:
略
12. 如果角的终边经过点(-1,2),那么______.
参考答案:
【分析】
根据角的终边经过点,求得该点到原点的距离,再利用余弦函数的定义求解.
【详解】因为角的终边经过点,
所以点到原点的距离为,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查三角函数的定义,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
13. 若△ABC的面积为,BC=2,C=,则边AB的长度等于_____________.
参考答案:
2
14. 已知集合,,那么集合 .
参考答案:
15. 已知函数y=sin()(ω>0)是区间[,π]上的增函数,则ω的取值范围是 .
参考答案:
(0,]
【考点】正弦函数的图象.
【分析】可以通过角的范围[,π],得到(ωx+)的取值范围,直接推导ω的范围即可.
【解答】解:由于x∈[π,π],
故(ωx+)∈[ω+,πω+],
∵函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在[,π]上是增函数,
∴,
∴0<ω≤,
故答案为:(0,].
【点评】本题考查三角函数的单调性的应用,函数的解析式的求法,考查计算能力.
16. 化简的结果是__________
参考答案:
17. 若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∪B的真子集个数为 .
参考答案:
15
【考点】并集及其运算.
【专题】集合.
【分析】由A与B,求出两集合的并集,找出并集的真子集个数即可.
【解答】解:∵A={1,2,3},B={1,3,4},
∴A∪B={1,2,3,4},
则A∪B的真子集个数为24﹣1=15.
故答案为:15
【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)(2007?湖南)已知函数,.
(Ⅰ)设x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴,求g(x0)的值;
(Ⅱ)求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.
参考答案:
考点: 余弦函数的对称性;正弦函数的单调性.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: (Ⅰ)先对函数f(x)根据二倍角公式进行化简,再由x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴求出x0的值后代入到函数g(x)中,对k分奇偶数进行讨论求值.
(Ⅱ)将函数f(x)、g(x)的解析式代入到h(x)中化简整理成y=Asin(wx+ρ)+b的形式,得到h(x)=,然后令求出x的范围即可.
解答: 解:(Ⅰ)由题设知.
因为x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以=kπ,
即(k∈Z).
所以.
当k为偶数时,,
当k为奇数时,.
(Ⅱ)
=
=.
当,即(k∈Z)时,
函数是增函数,
故函数h(x)的单调递增区间是(k∈Z).
点评: 本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣单调性、对称性.考查二倍角公式的运用.
19. 已知函数f(x)=x(x﹣m)2在x=2处有极大值.
(1)求实数m的值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】54:根的存在性及根的个数判断;6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)令f′(2)=0解出m,再进行验证x=2是否为极大值点即可;
(2)求出f(x)的单调性和极值,即可得出a的范围.
【解答】解:(1)f'(x)=3x2﹣4mx+m2,由已知f'(2)=12﹣8m+m2=0,
∴m=2,或m=6,当m=2时,f'(x)=3x2﹣8x+4=(3x﹣2)(x﹣2),
∴f(x)在上单调递减,在x∈(2,+∞)上单调递增,
∴f(x)在x=2处有极小值,不符合题意,舍去.
∴m=6.
(2)由(1)知f(x)=x3﹣12x2+36x,f′(x)=3x2﹣24x+36,
且f(x)的另一个极值点为6,
∴f(x)在x∈(﹣∞,2)上单调递增,在x∈(2,6)上单调递减,在x∈(6,+∞)上单调递增,
当x=2时,f(x)取得极大值f(2)=32,
当x=6时,f(x)取得极小值f(6)=0,
∵方程f(x)=a有三个不同的实根,
∴0<a<32.
20. 已知函数f(x)=ax2+bx+c,且,3a>2c>2b.
(Ⅰ)求证:a>0且-3<<;
(Ⅱ)求证:函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;
(Ⅲ)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,求|x1–x2|的范围.
参考答案:
(Ⅰ)由 得3a+2b+2c=0, …………1分
又3a>2c>2b,则a>0,b<0. …………2分
又2c= –3a–2b,则3a>–3a–2b>2b,得–3<<–. …………4分
(Ⅱ)由于f(0)=c,f(2)=a–c,f(1)= –<0,
①当c>0时,f(0)=c>0,f(1)= –<0,在区间(0,1)内至少有一个零点;
…………6分
②当c≤0时,f(2)=a–c>0,f(1)= –<0,在区间(1,2)内至少有一个零点,
…………7分
因此在区间(0,2)内至少有一个零点. …………8分
(Ⅲ)由条件知x1+x2= –,x1x2= ––. …………9分
所以|x1–x2|==, …………11分
而–3<<–,则|x1–x2|∈[,) . …………14分
21. 将边长分别为1、2、3、…、n、n +1、…的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列{an}满足,
(1)求f(n)的表达式;
(2)写出,的值,并求数列{an}的通项公式;
(3)定义,记,且恒成立,求s的取值范围.
参考答案:
(1);(2), ,;(3).
【分析】
(1)根据题意,分别求出每一个阴影部分图形的面积,即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值;(2)依据递推式,结合分类讨论思想,即可求出数列的通项公式;(3)先求出的表达式,再依题意得到,分类讨论不等式恒成立的条件,取其交集,即得所求范围。
【详解】(1)由题意有,第一个阴影部分图形面积是:;第二个阴影部分图形面积是: ;第三个阴影部分图形面积是:;所以第个阴影部分图形面积是:;故;
(2)由(1)知,,,所以,
,
当时,
当时,
,
综上,数列的通项公式为,。
(3)由(2)知,,,由题意可得,恒成立,
①当时,,即,所以,
②当时,,即,
所以,
③当时,,即,
所以,
综上,.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法,数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用,意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。
22. 设函数的定义域为集合A,已知集合B={x|1<x<3},C={x|x≥m},全集为R.
(1)求(?RA)∩B;
(2)若(A∪B)∩C≠?,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用.
【分析】(1)求出集合A从而求出A的补集,进而求出其和B的交集;(2)根据集合A、B的范围,求出A和B的并集,结合(A∪B)∩C≠?,求出m的范围即可.
【解答】解:(1)因0<a<1,由loga(x﹣2)≥0得0<x﹣2≤1,
所以A={x|2<x≤3},…
CRA={x|x≤2或x>3},…
(CRA)∩B={x|x≤2或x>3}∩{
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