湖北省荆门市钟祥南湖中学2022-2023学年高一数学文期末试卷含解析

湖北省荆门市钟祥南湖中学2022-2023学年高一数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为（    ）     A.       B.        C.        D. 参考答案： B 略 2. 已知函数为偶函数，则=（    ）    A．                B．             C．              D． 参考答案： A 因为根据偶函数的性质可知，要使函数为偶函数，那么可知一次项系数为0，m=2,经验证成立，故选A.   3. 若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角． 【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]， 所以向量，的夹角为； 故选：A． 【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键． 4. 已知向量，若与垂直，则的值等于（    ）[来 A．　　B．　C．6　　D．2   参考答案： B 5. 已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（　　） 　 A． xy+有最小值4 B． xy+有最小值3 　 C． x+2y+有最小值11 D． xy﹣7+有最小值11 参考答案： C 6. 的值为   A．      B．      C．     D． 参考答案： B 略 7. 集合，，则从到的映射共有（  ）个 A.6               B.7              C.8               D.9 参考答案： 略 8. （5分）有一个同学开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表，画出散点图后，求得热饮杯关于当天气温x（°C）的回归方程为=﹣2.352x+147.767．如果某天的气温是40°C则这天大约可以卖出的热饮杯数是（） A． 51 B． 53 C． 55 D． 56 参考答案： 考点： 线性回归方程． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 根据所给的一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，代入x=4，求出y即可． 解答： 如果某天平均气温为40℃，即x=40， 代入=﹣2.352x+147.767=﹣2.352×40+147.767≈53， 故选：B． 点评： 本题考查线性回归方程的应用，即根据所给出的线性回归方程，预报y的值，这是填空题中经常出现的一个问题，属于基础题． 9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 设圆的半径为，则圆的面积，正六边形的面积，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率，故选A. 10. 已知R是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（   ） A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (0,1) 参考答案： B 【分析】 阴影部分对应的集合为A∩B，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为A∩B， ∵A＝{x|或}， B＝{x|0＜x}， ∴A∩B＝{x|0＜x}=(0，1]， 故选B． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，则＝________． 参考答案： 略 12. 如果角的终边经过点(－1,2)，那么______. 参考答案： 【分析】 根据角的终边经过点，求得该点到原点的距离，再利用余弦函数的定义求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以点到原点的距离为， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13. 若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于_____________. 参考答案： 2 14. 已知集合，，那么集合             . 参考答案： 15. 已知函数y=sin（）（ω＞0）是区间[，π]上的增函数，则ω的取值范围是　　． 参考答案： （0，] 【考点】正弦函数的图象． 【分析】可以通过角的范围[，π]，得到（ωx+）的取值范围，直接推导ω的范围即可． 【解答】解：由于x∈[π，π]， 故（ωx+）∈[ω+，πω+]， ∵函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在[，π]上是增函数， ∴， ∴0＜ω≤， 故答案为：（0，]． 【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力． 16. 化简的结果是__________ 参考答案： 17. 若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∪B的真子集个数为　　． 参考答案： 15 【考点】并集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可． 【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}， ∴A∪B={1，2，3，4}， 则A∪B的真子集个数为24﹣1=15． 故答案为：15 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （13分）（2007?湖南）已知函数，． （Ⅰ）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值； （Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间． 参考答案： 考点： 余弦函数的对称性；正弦函数的单调性．  专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ）先对函数f（x）根据二倍角公式进行化简，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴求出x0的值后代入到函数g（x）中，对k分奇偶数进行讨论求值． （Ⅱ）将函数f（x）、g（x）的解析式代入到h（x）中化简整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，得到h（x）=，然后令求出x的范围即可． 解答： 解：（Ⅰ）由题设知． 因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以=kπ， 即（k∈Z）． 所以． 当k为偶数时，， 当k为奇数时，．   （Ⅱ） = =． 当，即（k∈Z）时， 函数是增函数， 故函数h（x）的单调递增区间是（k∈Z）． 点评： 本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣单调性、对称性．考查二倍角公式的运用． 19. 已知函数f（x）=x（x﹣m）2在x=2处有极大值． （1）求实数m的值； （2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】54：根的存在性及根的个数判断；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）令f′（2）=0解出m，再进行验证x=2是否为极大值点即可； （2）求出f（x）的单调性和极值，即可得出a的范围． 【解答】解：（1）f'（x）=3x2﹣4mx+m2，由已知f'（2）=12﹣8m+m2=0， ∴m=2，或m=6，当m=2时，f'（x）=3x2﹣8x+4=（3x﹣2）（x﹣2）， ∴f（x）在上单调递减，在x∈（2，+∞）上单调递增， ∴f（x）在x=2处有极小值，不符合题意，舍去． ∴m=6． （2）由（1）知f（x）=x3﹣12x2+36x，f′（x）=3x2﹣24x+36， 且f（x）的另一个极值点为6， ∴f（x）在x∈（﹣∞，2）上单调递增，在x∈（2，6）上单调递减，在x∈（6，+∞）上单调递增， 当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=32， 当x=6时，f（x）取得极小值f（6）=0， ∵方程f（x）=a有三个不同的实根， ∴0＜a＜32． 20. 已知函数f(x)=ax2+bx+c，且，3a＞2c＞2b． （Ⅰ）求证：a＞0且－3＜＜； （Ⅱ）求证：函数f(x)在区间（0，2）内至少有一个零点； （Ⅲ）设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1–x2|的范围． 参考答案： （Ⅰ）由 得3a+2b+2c=0， …………1分 又3a＞2c＞2b，则a＞0，b＜0． …………2分 又2c= –3a–2b，则3a＞–3a–2b＞2b，得–3＜＜–． …………4分 （Ⅱ）由于f(0)=c，f(2)=a–c，f(1)= –＜0，                ①当c＞0时，f(0)=c＞0，f(1)= –＜0，在区间（0，1）内至少有一个零点； …………6分 ②当c≤0时，f(2)=a–c＞0，f(1)= –＜0，在区间（1，2）内至少有一个零点， …………7分 因此在区间（0，2）内至少有一个零点． …………8分 （Ⅲ）由条件知x1+x2= –，x1x2= ––． …………9分 所以|x1–x2|==， …………11分 而–3＜＜–，则|x1–x2|∈[，) ． …………14分 21. 将边长分别为1、2、3、…、n、n +1、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列{an}满足， （1）求f(n)的表达式； （2）写出，的值，并求数列{an}的通项公式； （3）定义，记，且恒成立，求s的取值范围. 参考答案： （1）；（2）， ，；（3）. 【分析】 （1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。 【详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是： ；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故； （2）由（1）知，，，所以， ， 当时， 当时， ， 综上，数列的通项公式为，。 （3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立， ①当时，，即，所以， ②当时，，即， 所以， ③当时，，即， 所以， 综上，. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。 22. 设函数的定义域为集合A，已知集合B={x｜1＜x＜3}，C={x｜x≥m}，全集为R． （1）求（?RA）∩B； （2）若（A∪B）∩C≠?，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用． 【分析】（1）求出集合A从而求出A的补集，进而求出其和B的交集；（2）根据集合A、B的范围，求出A和B的并集，结合（A∪B）∩C≠?，求出m的范围即可． 【解答】解：（1）因0＜a＜1，由loga（x﹣2）≥0得0＜x﹣2≤1， 所以A={x｜2＜x≤3}，… CRA={x｜x≤2或x＞3}，… （CRA）∩B={x｜x≤2或x＞3}∩{