湖北省荆州市棋盘乡王垸中学高三数学理模拟试题含解析

湖北省荆州市棋盘乡王垸中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，以下关于的导函数说法正确的有（   ） ①其图像可由 向左平移 得到；     ②其图像关于直线对称； ③其图像关于点对称；                   ④在区间上是增函数． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 参考答案： B 2. 函数y=tan的定义域是（　　） A．{x|x≠，x∈R} B．{x|x≠﹣，x∈R} C．{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R} D．{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R} 参考答案： D 【考点】正切函数的定义域． 【分析】由正切函数的定义知x﹣≠kπ+，解出x不满足的范围即可． 【解答】解：∵函数y=tan=﹣tan（x﹣） ∴x﹣≠kπ+， ∴x≠kπ+π，k∈Z． 故选  D 3. 把一颗骰子投掷两次，第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，以为系数得到直线，又已知直线，则直线与相交的概率为（ ） (A)        （B）      （C）     （D） 参考答案： A 4. 已知p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，q：?x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（　　） A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q 参考答案： C 【考点】复合命题的真假． 【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出其复合命题的真假即可． 【解答】解：关于p：?x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立， 故命题p是真命题， 关于q：?x∈（0，+∞），sinx＞1， ∵?x∈（0，+∞），sinx≤1， 故命题q是假命题， 故p∨￢q是真命题， 故选：C． 5. 若一个α角的终边上有一点P(－4，a)且sin α·cos α＝，则a的值为(　　) A．  B．±  C．－或－  D. 参考答案： C 6. 函数在同一直角坐标系下的图象大致是（　） A               B              C                D 参考答案： C 7. 已知集合，或，若，则的取值范围是（   ） A．(－∞,3]          B．(－∞,4]       C．[3,4]        D．(3,4) 参考答案： C 8. 已知数列的前n项和，正项等比数列中，，则（  ） A. n-1             B. 2n-1            C. n-2                 D. n 参考答案： D 略 9. 复数的共轭复数是（　　） A．-1+                  B．-1-                 C．1+                  D．1- 参考答案： 10. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为（　　）        A．3                      B．2                 C．                        D．1 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，正方体的棱长为，分别为棱，上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号） ①平面； ②在平面内总存在与平面平行的直线； ③在侧面上的正投影是面积为定值的三角形； ④当为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当为中点时，平面与棱交于点，则．          参考答案： ②③④⑤ 略 12. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质                    参考答案： 答案：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值. 解析：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）.    因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理. 则（定值）. 13. 直线y＝x+ 2被圆M：所截得的弦长为　　　　　 参考答案： 14. 如图，AB为⊙O的直径过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，若AB=BC=2，则CD的长为　_________　． 　 参考答案： 15. 已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}的通项公式为___． 参考答案： 【分析】 由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当时，； 当时，. 又因为不满足，所以. 【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 16. 设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a2+2b2）x+y的最大值为8，则2a+b的最小值为            ． 参考答案： 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a2+2b2）x+y得y=﹣（a2+2b2）x+z， 由图象可知当y=﹣（a2+2b2）x+z，经过点A时，目标函数的截距最大，此时z最大， 由，解得，即A（1，4）， 则a2+2b2+4=8， 即a2+2b2=4，即， 设a=2sinθ，b=cosθ， 则2a+b=4sinθ+cosθ=3sin（θ+α），其中α为参数， 则当sin（θ+α）=﹣1时，2a+b有最小值为， 故答案为： 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及三角换元法是解决本题的关键． 17. 已知数列的通项公式为,将数列中各项进行分组如下。第1组：；第2组：，；……；如果第k组的最后一个数为，那么第k+1组的（k+1）个数依次排列为：，，……，，则第10组的第一个数是___▲_____ 参考答案： 89 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知函数对任意实数恒有，且当x＞0时，又. （1）判断的奇偶性；   （2）求证：是上的减函数；   （3）求在区间[－3,3]上的值域；   （4）若，不等式恒成立，求的取值范围. 参考答案： （1）解：取则 取 对任意恒成立  ∴为奇函数. 19. 在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足. （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若、，求． 参考答案： 略 20. 对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有＞成立，则称函数是D上的J函数． （Ⅰ）当函数f（x）＝mlnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围； （Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数， 1         试比较g（a）与g（1）的大小； 2         求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，xn，均有 g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，可得， 因为函数是函数，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为.……………………………3分 （Ⅱ）①构造函数， 则，可得为上的增函数， 当时，，即，得； 当时，，即，得； 当时，，即，得.…………………6分 ②因为，所以， 由①可知， 所以，整理得， 同理可得，…，. 把上面个不等式同向累加可得【全,品…中&高*考*网】.…………………………12   略 21. 已知A（0，1），B（0，﹣1），M（﹣1，0），动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，动直线l与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0且满足． （1）求曲线C的方程； （2）若直线l与x轴相交于一点N，求N点坐标. 参考答案： （1）（x≠0）；（2）N（﹣2，0） 【分析】 （1）由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C的轨迹方程； （2）设直线l的方程为y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由已知可得kMQ+kMR＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N点坐标. 【详解】（1）动点P为曲线C上任意一点，直线PA，PB的斜率之积为，设动点P（x，y），x≠0； 则有：kPA?kPB?，化简可得：，x≠0． 故曲线C的方程为：（x≠0）； （2）设点N的坐标为（m，0）．依题意，直线l的斜率存在且不为0，设为k（k≠0）， 则直线l的方程y＝k（x﹣m），将y＝k（x﹣m）代入方程y2＝1（x≠0）． 得（2k2+1）x2﹣4k2mx+2（k2m2﹣1）＝0． 则△＝（﹣4k2m）2﹣8（2k2+1）（k2m2﹣1）＝8（2k2﹣k2m2+1）＞0， 动直线与曲线C相交于不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0， x1+x2，x1?x2，且满足，即， 如图， ，， 则，故kMQ+kMR＝0， 即， 化简得：， 即，整理得m+2＝0，即m＝﹣2． 故点N的坐标为(﹣2，0)． 【点睛】本题考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查学生数学运算和逻辑推理能力，题中由得到kMQ+kMR＝0是解决第二问的关键，属难题. 22. 如图（甲），等腰直角三角形的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（乙）） （Ⅰ）求证：PB⊥DE； （Ⅱ）若PE⊥BE， PD=，求四棱锥P﹣DEBC的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何． 【分析】（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE； （II）证明PE⊥平面DEBC，PE是四棱锥P﹣DEBC的高，求出DEBC的面积，即可求四棱锥P﹣DEBC的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE， ∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB， 又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE； （Ⅱ）解：∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE∩BE=E， ∴PE⊥平面DEBC， ∴PE是四棱锥P﹣DEBC的高． 在等腰直角三角形PED中，由PD=，可得PE=1， ∴在等腰直角三角形AED中，AE=DE=1，S△AED==， 在等腰直角三角形ACB中，过C作CM⊥AB于M，则CM=2， ∴S△ACB==4，∴SDEBC=4﹣=， ∴VP﹣DEBC==． 【点评】本题考查求四棱锥P﹣DEBC的体积，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．