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湖北省荆门市绿林文武中学2022-2023学年高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 两条平行线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为 ( )
A.2.5 B.3.5 C.7 D.5
参考答案:
B
2. (3分)下列说法正确的是()
A. 三点确定一个平面
B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定是平面图形
D. 平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点
参考答案:
C
考点: 命题的真假判断与应用.
专题: 阅读型;空间位置关系与距离.
分析: 由公理3知:不共线的三个点确定一个平面,即可判断A;
四边形有平面四边形和空间四边形两种,由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形,即可判断B;
在同一平面内,只有一组对边平行的四边形为梯形,即可判断C;
由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,即可判断D.
解答: A.由公理3知:不共线的三个点确定一个平面,故A错;
B.四边形有平面四边形和空间四边形两种,由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形,故B错;
C.在同一平面内,只有一组对边平行的四边形为梯形,故C对;
D.由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,故D错.
故选C.
点评: 本题考查空间确定平面的条件,掌握三个公理和三个推论,是迅速解题的关键,本题属于基础题.
3. 已知向量=(1,﹣2),=(x,4),且∥,则|+|的值是( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
B
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵∥,∴﹣2x﹣4=0,解得x=﹣2.
∴=(﹣2,4).
∴=(﹣1,2).
则|+|==.
故选:B.
【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理、模的计算公式,属于基础题.
4. 函数y=的定义域为 ( )
A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≤-1或x≥1} C.{x|0≤x≤1} D.{-1,1}
参考答案:
D
5. 过点A(1,4),且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】IE:直线的截距式方程.
【分析】当截距为0时,设y=kx,待定系数法求k值,即得所求的直线方程;
当截距不为0时,设,或,
待定系数法求a值,即得所求的直线方程.
【解答】解:当截距为0时,设y=kx,把点A(1,4)代入,则得k=4,即y=4x;
当截距不为0时,设,或,过点A(1,4),
则得a=5,或a=﹣3,即x+y﹣5=0,或x﹣y+3=0
这样的直线有3条:y=4x,x+y﹣5=0,或x﹣y+3=0.
故选C.
6. 下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是( )
A.y=2x B.y=﹣x3 C. D.
参考答案:
C
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可.
【解答】解:对于A,不是奇函数;
对于B,不是增函数;
对于C,既是奇函数又是增函数;
对于D,不是增函数;
故选:C.
7. 定义集合A、B的一种运算:,若,,则中的所有元素数字之和为( ).
A.9 B. 14 C.18 D.21
参考答案:
B
8. 若a=20.5,b=logπ3,c=log2,则有( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
参考答案:
A
【考点】4M:对数值大小的比较.
【分析】利用对数和指数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵a=20.5>20=1,0<b=logπ3<logππ=1,<log21=0.
∴a>b>c.
故选:A.
9. 直线的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
参考答案:
D
10. 设集合A={x|-5≤x<3},B={x|x≤4},则A∪B=( ).
A.{x|-5≤x<3} B.{x|-5≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x<3}
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为,腰为,上底面为的等腰梯形,则这个平面图形的面积是__________.
参考答案:
解:如图所示:由已知斜二测直观图根据斜二测化法画出原平面图形,
所以,
,
,
所以这个平面图形的面积为:
.
故答案为:.
12. 则的值等于 .
参考答案:
4
13. 已知角α的终边经过点P(3,),则与α终边相同的角的集合是 .
参考答案:
{x|x=2kπ+,k∈Z}
【考点】G2:终边相同的角;G9:任意角的三角函数的定义.
14. (14)若实数x,y满足x2+y2=1,则的最小值为 。
参考答案:
(14)
略
15. 已知函数,,若,则__________.
参考答案:
3
略
16. 若函数是幂函数,则函数(其中,)的图象恒过定点A的坐标为__________.
参考答案:
∵是幂函数,
∴解得,
∴,
当,,
∴的图象恒过定点.
17. (10分)在直线l:3x﹣y﹣1=0上存在一点P,使得:P点到点A(4,1)和点B(3,4)的距离之和最小.求此时的距离之和.
参考答案:
考点: 点到直线的距离公式.
专题: 直线与圆.
分析: 设点B(3,4)关于直线l:3x﹣y﹣1=0的对称点为B′(a,b),可得,解得a,b,则|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|.
解答: 设点B(3,4)关于直线l:3x﹣y﹣1=0的对称点为B′(a,b),
则,
解得a=,b=,∴B′.
∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|==.
点评: 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)0.027+()﹣3﹣1+(﹣1)0;
(2)计算:lg25+lg4+7+log23?log34.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】(1)直接由有理指数幂的运算性质化简求值即可;
(2)直接由对数的运算性质化简求值即可.
【解答】解:(1)0.027+()﹣3﹣1+(﹣1)0===8;
(2)lg25+lg4+7+log23?log34=.
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值,考查了对数的运算性质,是基础题.
19. 已知函数f(x)=log2(16x+k)﹣2x (k∈R)是偶函数.
(1)求k;
(2)若不等式m﹣1≤f(x)≤2m+log217在x∈[﹣1,]上恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【分析】(1)由偶函数的定义f(﹣x)=f(x)恒成立可求;
(2)不等式m﹣1≤f(x)≤2m+log217在x∈[﹣1,]上恒成立,求出函数f(x)最值即可.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=log2(16x+k)﹣2x=log2(4x+),
∴f(﹣x)=log2(4﹣x+)=log2(k4x+4﹣x),
由f(﹣x)=f(x)恒成立,得k=1
(Ⅱ)∵log2(4x+4﹣x),令t=4x,由x∈[﹣1,],
∴t∈[,2],
∵函数y=t+在[,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,
∴当t=1时,即x=0时,函数f(x)有最小值f(0)=1,
∴当t=时,即x=﹣1时,函数f(x)有最大值f(﹣1)=log2,
∵m﹣1≤f(x)≤2m+log217在x∈[﹣1,]上恒成立,
∴m﹣1≤1且log2≤2m+log217.
解得﹣1≤m≤2
故m的取值范围为[﹣1,2]
20. (14分)已知函数 ,判断该函数在区间(2,+∞)上的单调性,并给出证明。
参考答案:
任设两个变量2<x1<x2,则
,
因为2<x1<x2,所以x2﹣x1>0,(x1﹣2)(x2﹣2)>0,
所以f(x1)﹣f(x2)>0,f(x1)>f(x2).
所以函数在区间(2,+∞)上的单调递减,是减函数.
21. (本小题满分14分)
已知是定义在上的偶函数,当时,.
(1)求的值;
(2)求的解析式并画出简图;
(3)写出的单调区间(不用证明).
参考答案:
(1)∵是定义在上的偶函数,
∴ ………………………………………………………3分
(2)当时,
∴ ………………………………………………5分
∵是定义在上的偶函数,∴
∴() ………………………………………………7分
∴的解析式为…………………………………………8分
的图象如下图
…………………………………………10分
(3)由的图象可知:的增区间为和,
减区间为和…………………………………………………………14分
(写成要扣1分)
22. 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为AB,DA上动点,且△APQ的周长为2,设 AP=x,AQ=y.
(1)求x,y之间的函数关系式y=f(x);
(2)判断∠PCQ的大小是否为定值?并说明理由;
(3)设△PCQ的面积分别为S,求S的最小值.
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】综合题;方程思想;综合法;函数的性质及应用;不等式.
【分析】(1)由已知可得PQ=2﹣x﹣y,根据勾股定理有(2﹣x﹣y)2=x2+y2,即可求x,y之间的函数关系式y=f(x);
(2)求得∴∠DCQ+∠BCP=,即可判断∠PCQ的大小;
(3)表示△PCQ的面积,利用基本不等式求S的最小值.
【解答】解:(1)由已知可得PQ=2﹣x﹣y,根据勾股定理有(2﹣x﹣y)2=x2+y2,…
化简得:y=(0<x<1)…
(2)tan∠DCQ=1﹣y,tan∠BCP=1﹣x,…
tan(∠DCQ+∠BCP)==1 …
∵∠DCQ+∠BCP∈(0,),
∴∠DCQ+∠BCP=,
∴∠PCQ=﹣(∠DCQ+∠BCP)=,(定值) …
(3)S=1﹣﹣(1﹣x)﹣(1﹣y)=(x+y﹣xy)=? …
令t=2﹣x,t∈(1,2),
∴S=?(t+)﹣1,
∴t=时,S的最小值为﹣1. …
【点评】本题考查三角函数知识,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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