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湖北省荆门市荆襄高级中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角后第一次与x轴相切,则角满足的条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
设过原点的直线与相切,求得直线方程即可.
【详解】设直线y=kx与相切,切点为又,
解即tan
故选B
【点睛】本题考查函数切线,熟练转化题意,准确计算切线方程是关键,注意逆向思维的运用,是中档题.
2. “”是“”的
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
参考答案:
B
3. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是
参考答案:
A
根据题设条件得到变化后的函数为,结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.
4. 命题的否定是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
5. 向量,满足,与的夹角为60°,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
∵|a-b|=,∴|a|2+|b|2-2a·b=,
∵|a|=1,〈a,b〉=60°,
设|b|=x,则1+x2-x=,∵x>0,∴x=.
6. 过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
参考答案:
B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】方程思想;转化法;导数的概念及应用.
【分析】求得函数的导数,求得切线的斜率,由直线的斜率公式,可得倾斜角.
【解答】解:y=x2的导数为y′=2x,
在点的切线的斜率为k=2×=1,
设所求切线的倾斜角为α(0°≤α<180°),
由k=tanα=1,
解得α=45°.
故选:B.
【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线的倾斜角的求法,考查运算能力,属于基础题.
7. 已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和,其右支上存在一点满足,且的面积为3,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
参考答案:
B
8. 设实数x,y满足约束条件,则z=的取值范围是( )
A.[,1] B.[,] C.[,] D.[,]
参考答案:
D
考点: 简单线性规划.
专题: 不等式的解法及应用.
分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算,即可求z的取值范围.
解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
z=的几何意义是区域内的点(x,y)到定点D(﹣1,0)的斜率,
由图象知BD的斜率最大,CD的斜率最小,
由,解得,即B(,),即BD的斜率k==,
由,解得,即C(,),即CD的斜率k==,
即≤z≤,
故选:D.
点评: 本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
9. 已知实数a、b满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据题意,将通分化简整理,再运用基本不等式求解最值.
【详解】由题意,
的最小值是
当,即时,
的值最大
的最大值是:
的最大值为.
故选:C
【点睛】本题考查基本不等式的应用求最值,综合性较强,属于中等题型.
10. 在△ABC上,点D满足,则( )
A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上
C.点D在线段BC上 D.点D在CB的延长线上
参考答案:
D
【考点】向量的三角形法则.
【分析】据条件,容易得出,可作出图形,并作,并连接AD′,这样便可说明点D和点D′重合,从而得出点D在CB的延长线上.
【解答】解:
=
=;
如图,
作,连接AD′,则:
=;
∴D′和D重合;
∴点D在CB的延长线上.
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某学校共有师生2 400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是____▲____.
参考答案:
150人
12. 已知,且,则_______________.
参考答案:
略
13. 如图,已知是⊙的一条弦,点为上一点,,交⊙于,若,,则的长是
参考答案:
14. 已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为________.
参考答案:
3
略
15. 设命题;命题,那么p是q的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
参考答案:
充分不必要
命题q:x2﹣5x+4≥0?x≤1,或x≥4,
∵命题p:x>4;
故p是q的:充分不必要条件,
故答案为:充分不必要
16. 已知集合A=,则A∩B= .
参考答案:
(2,3]
【考点】交集及其运算.
【专题】计算题;集合.
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出两集合的交集即可.
【解答】解:由A中不等式变形得:2﹣1≤2x≤23,即﹣1≤x≤3,
∴A=(﹣1,3),
由B中不等式变形得:log2(x2﹣x)>1=log22,即x2﹣x>2,
分解得:(x﹣2)(x+1)>0,
解得:x<﹣1或x>2,即B=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞),
则A∩B=(2,3],
故答案为:(2,3]
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
17. 已知等比数列的各均为正数,且,则数列的通项公式为 ;
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (2017?四川模拟)已知公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a5成等比数列
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列与等比数列的综合.
【分析】(1)设公差d不为零的等差数列{an},运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式,解方程可得d=2,进而得到所求通项公式;
(2)求得bn==(﹣),运用数列的求和方法:裂项相消求和,化简计算即可得到所求和.
【解答】解:(1)设公差d不为零的等差数列{an},
a1=1,且a1,a2,a5成等比数列,
可得a22=a1a5,
即为(1+d)2=1×(1+4d),
解得d=2,
则数列{an}的通项公式为an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1(n为正整数);
(2)bn===(﹣),
即有前n项和Tn=b1+b2+…+bn
=(1﹣+﹣+…+﹣)
=(1﹣)=(n为正整数).
【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式,考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
19. 如图,已知AC,BD为圆O的任意两条直径,直线AE,CF是圆O所在平面的两条垂线,且线段AE=CF=,AC=2.
(Ⅰ)证明AD⊥BE;
(Ⅱ)求多面体EF﹣ABCD体积的最大值.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)证明AD⊥平面ABE,即可证明AD⊥BE;
(Ⅱ)多面体EF﹣ABCD体积V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC,作BM⊥AC交AC于点M,则BM⊥平面AEFC,求出多面体ABCDEF的体积,即可得出结论.
【解答】(Ⅰ)证明:∵BD为圆O的直径,∴AB⊥AD,
∵直线AE是圆O所在平面的垂线,
∴AD⊥AE,
∵AB∩AE=A,
∴AD⊥平面ABE,
∴AD⊥BE;
(Ⅱ)解:多面体EF﹣ABCD体积V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC.
∵直线AE,CF是圆O所在平面的两条垂线,
∴AE∥CF,∥AE⊥AC,AF⊥AC.
∵AE=CF=,∴AEFC为矩形,
∵AC=2,
∴SAEFC=2,
作BM⊥AC交AC于点M,则BM⊥平面AEFC,
∴V=2VB﹣AEFC=2×≤=.
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为.
【点评】本题考查线面垂直,线线垂直,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.
20. (本小题满分10分)
已知.
(I)求sinx-cosx的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
解法一:(Ⅰ)由
即
又
故
(Ⅱ)
①②
解法二:(Ⅰ)联立方程
由①得将其代入②,整理得
故
(Ⅱ)
略
21. (本小题满分14分)已知数列满足,,数列满足,数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)试比较与的大小,并说明理由。
(3)我们知道,数列如果是等差数列,则公差是一个常数,显然在本题的数列中,不是一个常数,但是否会小于等于一个常数呢?若会,求出的取值范围,若不会,请说明理由。
参考答案:
(1);
(2),,令,
,所以当时,为增函数,,,ks5u
(3)为减函数,对一切正整数及恒成立,所以存在满足要求,故的取值范围是。
略
22. 在中,设内角、、的对边分别为、、,.
(1)求角;
(2)若,点满足,求:的取值范围.
参考答案:
(1);(2)
(2)设的中点分别为
∵点满足,∴为的外心
(*)
由(*):时,得最大值12,
则
故原式的取值范围是
考点:两角差的正弦和余弦,三角恒等变换
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