湖北省荆门市烟垢中学高二数学文上学期期末试题含解析

湖北省荆门市烟垢中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。则这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为（   ）     A．              B．              C．             D． 参考答案： C 2. 如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为   A.48         B.60         C.72        D.84 参考答案： D 略 3. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 (    )     A.     B.     C.三棱锥的体积为定值     D.异面直线所成的角为定值 参考答案： D 4. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于(　　) 图21－1 A．7                               B．15 C．31                              D．63 参考答案： D 5. 函数有极值的充要条件是   （     ） A．        B．       C．         D． 参考答案： B 6. 设为抛物线上的动弦，且, 则弦的中点到轴的最小距离为 A. 2 B. C. 1 D. 参考答案： B 7. 当输入的值为，的值为时，右边程序运行的结果是                           参考答案： B 程序运行的结果是输入两数的和，，故选. 8. 完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（　　） ①从30件产品中抽取3件进行检查． ②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学的建议，拟抽取一个容量为300的样本； ③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈． A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 参考答案： D 【考点】收集数据的方法． 【分析】①中，总体数量不多，宜用简单随机抽样；②中，某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人．宜用分层抽样；③中，总体数量较多，宜用系统抽样． 【解答】解：①中，总体数量不多，适合用简单随机抽样； ②中，某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，适合于分层抽样； ③中，总体数量较多且编号有序，适合于系统抽样． 故选D． 9. 复数的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 10. 算法的有穷性是指（     ） A． 算法必须包含输出                B．算法中每个操作步骤都是可执行的 C． 算法的步骤必须有限              D．以上说法均不正确 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________. 参考答案： 3 12. 已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为　　． 参考答案： 4 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得． 解答： 解：抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1． 设点P在准线上的射影为D， 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|， 要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小． 当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣1）=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键． 13. 已知函数f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx，其中e为自然对数的底，则满足f（ex）＜0的x的取值范围为　　． 参考答案： （0，1） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出不等式f（x）＜0的解，即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）=x﹣1﹣（e﹣1）lnx， ∴函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数为f′（x）=1﹣=， 由f′（x）＞0得x＞e﹣1，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜e﹣1，此时函数单调递减， 在x=e﹣1时，函数取得极小值， ∵f（1）=0，f（e）=0， ∴不等式f（x）＜0的解为1＜x＜e， 则f（ex）＜0等价为1＜ex＜e， 即0＜x＜1， 故答案为：（0，1） 14. 斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且. 则P点的轨迹方程是____________________． 参考答案：     提示：设动点为，则过              .        代入椭圆方程,     整理得：                    (※)        若直线椭圆交于，，则是方程(※)的两个根, 且                    ①                    ②            又∵，       . ∴.         将①、②代入并整理得：    （） 15. 在等差数列中，已知，那么它的前8项和等于_________ 参考答案： 48 16. 过抛物线X2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交与A,B两点，A,B在x轴上的正射影分别为C,D,若梯形的面积为则p=______ 参考答案： 2 略 17. 在△ABC中，已知，则△ABC的形状为________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题13分）甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是 ：    甲   0  1  0  2  2  0  3  1  2  4                      乙   2  3  1  1  0  2  1  1  0  1 分别计算这两组数据的平均数与方差，从计算结果看，哪台机床的性能较好？ 参考答案： 解：设甲乙两组数据的平均数与方差分别为 ，则 ……（2分） ……（4分） ……（10分） 从计算结果来看，乙机床的性能比甲机床的性能要好。因为乙机床出次品的平均数较少， 且方差也小，性能较稳定。……　……（13分） 19. 已知矩阵，点，点. （1）求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度； （2）求矩阵的特征值与特征向量.                                       参考答案： 解：(1)由，，………………………4分 所以 所以        …………………………………7分 (2)     …………………………………9分 得矩阵特征值为，          …………………………………10分 分别将代入方程组 得矩阵属于特征值的特征向量为 当属于特征值的特征向量为    …………………………14分 20. 参考答案： 解：每月生产x吨时的利润为 ，故它就是最大值点，且最大值为：   答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 略 21. （本题12分）如图，正三棱柱中，点是的中点. （Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求证: 平面. 参考答案： （Ⅰ）因为是正三角形,而点是的中点，所以     3分 又三棱柱是正三棱柱，所以面，面，所以，，所以平面；             7分 （Ⅱ）连接,设,则为的中点,连接,由是的中点, 得   11分   又面,且面,所以平面.   14分 22. 设. （1）分别求，，； （2）归纳猜想一般性结论，并证明其正确性. 参考答案： (1)见解析(2) 归纳猜想得，当时，有，见解析 分析：由计算各和式，发现，，值均为，于是得出结论时，，利用，结合指数函数的性质化简可得结论. 详解：（1）. 同理可得；. （2）注意到三个特殊式子中，自变量之和均等于. 归纳猜想得，当时，有 证明如下：设， 因为.所以当时，有. 点睛：由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一，在解题过程，由不完全归纳法得到的结论，需要加以证明.