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湖北省荆门市烟垢中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机,设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为、、。若在一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立。则这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 如图,在一花坛A,B,C,D四个区域种花,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的两块种不同的花,则不同的种法总数为
A.48 B.60 C.72 D.84
参考答案:
D
略
3. 如图,正方体的棱线长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是 ( )
A.
B.
C.三棱锥的体积为定值
D.异面直线所成的角为定值
参考答案:
D
4. 程序框图如图21-1所示,则该程序运行后输出的B等于( )
图21-1
A.7 B.15
C.31 D.63
参考答案:
D
5. 函数有极值的充要条件是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 设为抛物线上的动弦,且, 则弦的中点到轴的最小距离为
A. 2 B. C. 1 D.
参考答案:
B
7. 当输入的值为,的值为时,右边程序运行的结果是
参考答案:
B
程序运行的结果是输入两数的和,,故选.
8. 完成下列抽样调查,较为合理的抽样方法依次是( )
①从30件产品中抽取3件进行检查.
②某校高中三个年级共有2460人,其中高一890人、高二820人、高三810人,为了了解学生对数学的建议,拟抽取一个容量为300的样本;
③某剧场有28排,每排有32个座位,在一次报告中恰好坐满了听众,报告结束后,为了了解听众意见,需要请28名听众进行座谈.
A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样
D.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
参考答案:
D
【考点】收集数据的方法.
【分析】①中,总体数量不多,宜用简单随机抽样;②中,某校高中三个年级共有2460人,其中高一890人、高二820人、高三810人.宜用分层抽样;③中,总体数量较多,宜用系统抽样.
【解答】解:①中,总体数量不多,适合用简单随机抽样;
②中,某校高中三个年级共有2460人,其中高一890人、高二820人、高三810人,适合于分层抽样;
③中,总体数量较多且编号有序,适合于系统抽样.
故选D.
9. 复数的值是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
10. 算法的有穷性是指( )
A. 算法必须包含输出 B.算法中每个操作步骤都是可执行的
C. 算法的步骤必须有限 D.以上说法均不正确
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列{an}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15=________.
参考答案:
3
12. 已知抛物线C:y2=4x的焦点F,点P为抛物线C上任意一点,若点A(3,1),则|PF|+|PA|的最小值为 .
参考答案:
4
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题.
分析: 设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小,进而可推断出当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,答案可得.
解答: 解:抛物线C:y2=4x的准线为x=﹣1.
设点P在准线上的射影为D,
则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,
要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小.
当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|最小,为3﹣(﹣1)=4.
故答案为:4.
点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,判断当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,是解题的关键.
13. 已知函数f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,其中e为自然对数的底,则满足f(ex)<0的x的取值范围为 .
参考答案:
(0,1)
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求函数的导数,判断函数的单调性,求出不等式f(x)<0的解,即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=x﹣1﹣(e﹣1)lnx,
∴函数的定义域为(0,+∞),
函数的导数为f′(x)=1﹣=,
由f′(x)>0得x>e﹣1,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得0<x<e﹣1,此时函数单调递减,
在x=e﹣1时,函数取得极小值,
∵f(1)=0,f(e)=0,
∴不等式f(x)<0的解为1<x<e,
则f(ex)<0等价为1<ex<e,
即0<x<1,
故答案为:(0,1)
14. 斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点,P为线段AB上的点,且. 则P点的轨迹方程是____________________.
参考答案:
提示:设动点为,则过
.
代入椭圆方程, 整理得:
(※)
若直线椭圆交于,,则是方程(※)的两个根, 且
①
②
又∵, .
∴.
将①、②代入并整理得:
()
15. 在等差数列中,已知,那么它的前8项和等于_________
参考答案:
48
16. 过抛物线X2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交与A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为C,D,若梯形的面积为则p=______
参考答案:
2
略
17. 在△ABC中,已知,则△ABC的形状为________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题13分)甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是 : 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数与方差,从计算结果看,哪台机床的性能较好?
参考答案:
解:设甲乙两组数据的平均数与方差分别为 ,则
……(2分)
……(4分)
……(10分)
从计算结果来看,乙机床的性能比甲机床的性能要好。因为乙机床出次品的平均数较少,
且方差也小,性能较稳定。…… ……(13分)
19. 已知矩阵,点,点.
(1)求线段在矩阵对应的变换作用下得到的线段的长度;
(2)求矩阵的特征值与特征向量.
参考答案:
解:(1)由,,………………………4分
所以
所以 …………………………………7分
(2) …………………………………9分
得矩阵特征值为, …………………………………10分
分别将代入方程组
得矩阵属于特征值的特征向量为
当属于特征值的特征向量为 …………………………14分
20.
参考答案:
解:每月生产x吨时的利润为
,故它就是最大值点,且最大值为:
答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.
略
21. (本题12分)如图,正三棱柱中,点是的中点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求证: 平面.
参考答案:
(Ⅰ)因为是正三角形,而点是的中点,所以 3分
又三棱柱是正三棱柱,所以面,面,所以,,所以平面; 7分
(Ⅱ)连接,设,则为的中点,连接,由是的中点,
得 11分
又面,且面,所以平面. 14分
22. 设.
(1)分别求,,;
(2)归纳猜想一般性结论,并证明其正确性.
参考答案:
(1)见解析(2) 归纳猜想得,当时,有,见解析
分析:由计算各和式,发现,,值均为,于是得出结论时,,利用,结合指数函数的性质化简可得结论.
详解:(1).
同理可得;.
(2)注意到三个特殊式子中,自变量之和均等于.
归纳猜想得,当时,有
证明如下:设,
因为.所以当时,有.
点睛:由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理,提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一,在解题过程,由不完全归纳法得到的结论,需要加以证明.
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