湖北省荆州市石首乡泥南中学高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市石首乡泥南中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|=（　　） A．3 B．2 C．5 D． 参考答案： D 【考点】复数求模． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】通过复数的相等求出a、b，然后求解复数的模． 【解答】解： =1﹣bi， 可得a=1+b+（1﹣b）i，因为a，b是实数， 所以，解得a=2，b=1． 所以|a﹣bi|=|2﹣i|==． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 2. 已知集合，则（    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： B 略 3. 函数在区间上有反函数，则的取值范围是（） A、      B、      C、       D、 参考答案： D 4. 已知圆O的半径为定长r，点A是平面内一定点（不与O重合），P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是下列几种：①椭圆，②双曲线，③抛物线，④直线，⑤点（　　） A．①②⑤ B．①②③ C．①④⑤ D．②③④ 参考答案： A 【考点】J3：轨迹方程． 【分析】对A的位置进行讨论，利用中垂线的性质即可得出QO和QP的关系，根据圆锥曲线的定义得出结论． 【解答】解：∵线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q， ∴QA=QP， （1）若A在圆外，则|QO﹣OP|=OP，即|QO﹣QA|=r＜OA， 此时Q点轨迹为双曲线； （2）若A在圆内，则|QA+QO|=|QP+QO|=r＞OA， 此时Q点轨迹为椭圆； （3）若A在圆上，则AP的中垂线经过圆心O，过Q点轨迹为圆心O， 故选A． 【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于中档题． 5. 如果那么      A．y< x<1              B．x< y<1            C．1< x0)上任意两点,线段AB必在AB上方，设点C是线段AB的中点，则由图中C在C1的上方可得不等式：.请分析函数f(x)=lg x(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到                . 参考答案： 17. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象　　． 参考答案： 向右平移个单位长度 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】首先化简三角函数式，然后利用三角函数的图象变换确定平移长度． 【解答】解：函数 =sin（2x+）+sin2x =cos2x+sin2x =2sin（2x+）， 所以要得到函数的图象，只需把函数向右平移个单位长度； 故答案为：向右平移个单位长度． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}中，，. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足，，求{bn}的前n项和Sn. 参考答案： （1）设等差数列的公差为，则 由，可得，解得 从而. 即数列的通项公式 （2）设等比数列的公比为，则 由，， 解得， 所以的前项和公式 试题立意：本小题考查等差数列、等比数列的概念，通项公式和前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想. 19. 已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）； （Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），AB的中点为C（x0，0），求证：g（x）在x0处的导数g′（x0）≠0． 参考答案： 解：（Ⅰ）f′（x）= =﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b． ∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2． 解得a=2，b=1． （Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m， 则， 令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）． 在内， 当时，h′（x）＞0， ∴h（x）是增函数； 当x∈[1，e]时，h′（x）＜0， ∴h（x）是减函数， 则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是： 即1＜m． （Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，． 假设结论不成立，则有： ①﹣②，得． ∴． 由④得， ∴ 即，即．⑤ 令，（0＜t＜1）， 则＞0． ∴u（t）在0＜t＜1上增函数， ∴u（t）＜u（1）=0， ∴⑤式不成立，与假设矛盾． ∴g'（x0）≠0． 考点： 函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： （Ⅰ）只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数； （Ⅱ）先要利用导数研究好函数h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m，的单调性，结合单调性及在 内有两个不等实根通过数形结合易知m满足的关系从而问题获得解答； （Ⅲ）用反证法现将问题转化为有关方程根的形式，在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即可获得解答． 解答： 解：（Ⅰ）f′（x）= =﹣2bx，，f（2）=aln2﹣4b． ∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2． 解得a=2，b=1． （Ⅱ）f（x）=2lnx﹣x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx﹣x2+m， 则， 令h′（x）=0，得x=1（x=﹣1舍去）． 在内， 当时，h′（x）＞0， ∴h（x）是增函数； 当x∈[1，e]时，h′（x）＜0， ∴h（x）是减函数， 则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是： 即1＜m． （Ⅲ）g（x）=2lnx﹣x2﹣kx，． 假设结论不成立，则有： ①﹣②，得． ∴． 由④得， ∴ 即，即．⑤ 令，（0＜t＜1）， 则＞0． ∴u（t）在0＜t＜1上增函数， ∴u（t）＜u（1）=0， ∴⑤式不成立，与假设矛盾． ∴g'（x0）≠0． 点评： 本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法．值得同学们体会反思 20. 已知函数（）. （1）若，求当时函数的最小值； （2）当时，函数有最大值-3，求实数的值. 参考答案： 解：（1）时，.因为，所以. 所以. 当且仅当，即时取等号. 所以当时函数的最小值为3. （2）因为，所以. 所以. 当且仅当，即时取等号. 即函数的最大值为，所以 解得.   21. （2009安徽卷理）（本小题满分13分） 点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为. （I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；          （II）证明:构成等比数列. 参考答案： 解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。 解：（I）（方法一）由得代入椭圆, 得. 将代入上式,得从而 因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.           (方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得 即故P与Q重合。 （方法三）在第一象限内，由可得 椭圆在点P处的切线斜率 切线方程为即。 因此，就是椭圆在点P处的切线。 根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。 （II）的斜率为的斜率为 由此得构成等比数列。 22. （12分）（2015?万州区模拟）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1． （Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围． 参考答案： 【考点】： 利用导数研究函数的极值． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】： （Ⅰ）当时，，求导；从而求极值； （Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式