湖北省荆门市东宝区子陵职业高级中学高一数学理模拟试题含解析

湖北省荆门市东宝区子陵职业高级中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若集合，则中元素的个数是（  ） A．5    B．6    C．7     D．8 参考答案： A 略 2. 下列叙述中，正确的个数是 ①集合中最小的数是1； ②若－aN，则a∈N； ③若a∈N*，b∈N，则a＋b的最小值是2； ④方程x2－4x＝－4的解集是{2，2}． [　　] A．0个     B．1个     C．2个    D．3个 参考答案： A 解析:本题考查集合与元素之间的关系，①没有说清楚是什么数集合，故错；②可举例说明：a＝，则－a＝N，但a＝N故错；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1≠2，故错；④方程解集是{2} 3. 若，则角的终边在 （　　）       A.第二象限        B.第四象限   C.第二、四象限   D.第三、四象限 参考答案： C 4. 要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（　　） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：把函数y=3sin2x图象向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象， 故选：C． 5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （A） （B） （C） （D） 参考答案： D 6. 已知，且，则tanφ=（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】利用诱导公式求得sinφ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosφ，从而求得tanφ的值． 【解答】解：∵已知=﹣sinφ， 且，∴sinφ=﹣，∴cosφ=， 则tanφ==﹣=﹣， 故选：C． 7. 甲、乙两人约定某天晚上7：00～8：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（　　） 　　A．　　 B．　　 C． 　　 D． 参考答案： C 8. 下列四组函数中，表示同一函数的是（　 ） A．               B．               C．                  D． 参考答案： D 略 9. 延长正方形ABCD的边CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若，下列判断正确的是（ ） A. 满足的点P必为BC的中点 B. 满足的点P有且只有一个 C. 的最小值不存在 D. 的最大值为3 参考答案： D 试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得 ，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D． 考点：向量的坐标运算． 10. 若对于任意都有，则函数的图象的对称中心为（　　） A. B. C. D. 参考答案： D ∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（–x）=3cosx–sinx①，用–x代替x，得f（–x）+2f（x）= 3cos（–x）–sin（–x），即f（–x）+2f（x）=3cosx+sinx②；①②联立，解得f（x）=sinx+cosx，所以函数y=f（2x）–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x，图象的对称中心为（，0），k∈Z，故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （4分）已知sinα+cosα=，则sinα?cosα=          ． 参考答案： 考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题． 分析： 将已知两边平方后由同角三角函数基本关系即可求值． 解答： ∵sinα+cosα=， ∴两边平方，可得1+2sinα?cosα=， ∴可解得：sinα?cosα=． 故答案为：． 点评： 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题． 12. 已知=2016，则+tan2α=　　． 参考答案： 2016 【考点】三角函数的化简求值． 【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值． 【分析】根据同角的三角函数关系式进行化简，利用弦化切进行计算即可． 【解答】解： +tan2α=+====， ∵=2016， ∴+tan2α=2016， 故答案为：2016 【点评】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用同角的三角函数关系式进行化简是解决本题的关键． 13. 在函数①y=2x；  ②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；  ④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是　　． 参考答案： ④ 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质． 【分析】逐一分析给定中个函数的奇偶性及零点存在性，可得结论． 【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件； 函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件； 函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件； 函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件； 故答案为：④． 14. 若则________，________    ． 参考答案： {0，1，2，3}，{1，2} 15. 已知 则f（x）的解析式为         ▲      . 参考答案： 16. 已知圆C的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________. 参考答案： 或 【分析】 由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可． 【详解】设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|， 则圆心到直线y＝x的距离d|t|， 而 （）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1， ∴圆心是（3，1）或（-3，-1） 故答案为或． 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键． 17. 已知点在圆上移动，则的中点的轨迹方程是         参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量=（3，﹣1），=（2，1），求： （1）（+2）?及|﹣|的值； （2）与夹角θ的余弦值． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】（1）求出各向量的坐标即可得出数量积与模长； （2）计算，||，||，代入夹角公式计算． 【解答】解：（1）=（7，1），=（1，﹣2）， ∴（+2）?=7×2+1×1=15， |﹣|==． （2）=3×2﹣1×1=5，||=，||=， ∴cos＜＞==． 19. 已知集合（），． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 参考答案： 略 20. 利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T之内，当年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为． （Ⅰ）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本； （Ⅱ）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润． 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（I）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值． （II）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值． 【解答】解：（I）设每吨的平均成本为W（万元/T）， 则， 当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．（6分） （II）设年利润为u（万元），则=．（11分） 所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元．（12分） 【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足： 正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴． 21. 定义在上奇函数与偶函数，对任意满足+  a为实数 （1）求奇函数和偶函数的表达式 （2）若a>2, 求函数在区间上的最值 参考答案： 解：（1）+  ①     ②………3分 联立①②得＝sin2x＋acosx ……5分        ………7分 （2）＝1－cos2x＋acosx＝－(cosx－)2＋＋1………9分 若a>1,则对称轴>1,且x时，cosx[-1,]……11分 当cosx=-1 ,h(x)min=－a,当cosx=, h(x)max=…ks5u…14分 22. 已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2． （1）求角A的值； （2）若a=，则求b+c的取值范围． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）在锐角△ABC中，根据条件利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），化简可得cosA =，由此可得A的值． （2）由正弦定理可得==2，可得 b+c=2（sinB+sinC）=2sin（B+）． 再由，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得b+c的取值范围． 【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a?， 利用正弦定理可得 （sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB）， 即 sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA， 即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=． （2）若a=，则由正弦定理可得==2， ∴b+c=2（sinB+sinC）=2=3sinB+cosB=2sin（B+）． 由于，求得＜B＜，∴＜B+＜． ∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．