湖北省荆门市京山县第二高级中学2023年高三数学理月考试卷含解析

湖北省荆门市京山县第二高级中学2023年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，设，，则a、b、c的大小关系为 （A）      （B）      （C）         （D） 参考答案： 答案：B 2. 若集合，，则等于（    ） A．   B．   C．     D． 参考答案： A 略 3.   （文科）设函数的反函数为（    ）        A．                           B．        C．      D． 参考答案： A 略 4. 已知函数f（x）=。若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 A. -3     B. -1     C. 1        D. 3 参考答案： A  本题主要考察了分段函数值的求法，同时考查分类讨论思想。 由，所以a肯定小于0，则故选A 5. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（   ） （A）向右平移个单位          （B）向右平移个单位 （C）向左平移个单位          （D）向左平移个单位 参考答案： D 6. 设集合 M={x||x|≤2，x∈R}，N={x|x2≤4，x∈N}，则（　　） A．M=N B．M?N C．M?N D．M∩N=? 参考答案： C 【考点】集合的表示法． 【分析】化简集合M，N，即可得出结论． 【解答】解：M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x|x2≤4，x∈N}={0，1，2}， ∴M?N， 故选C． 【点评】本题考查集合的表示与关系，考查学生的计算能力，比较基础． 7. 给出下列四个命题： ①命题“若，则”的逆否命题为假命题； ②命题：任意,都有，则“非”：存在，使； ③“”是“函数为偶函数”的充要条件； ④命题：存在，使 ； 命题：△ABC中，，那么命题“‘非’且”为真命题． 其中正确的个数是（    ） A． B．     C． D． 参考答案： C 8. 已知，则等于 A．          B．           C．           D． 参考答案： D 略 9. “一条直线l与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面平行”的        （   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 由一条直线l与平面α内无数条直线异面,可得,这条直线与平面α平行或这条直线与平面α相交；反之,由一条直线与平面α平行可得, 这条直线l与平面α内无数条直线异面.所以“一条直线l与平面α内无数条直线异面”是“这条直线与平面α平行”的必要不充分条件.选B. 10. 正项等比数列{an}中的a2，a4026是函数f（x）=x3﹣mx2+x+1（m＜﹣1）的极值点，则lna2014的值为(     ) A．1 B．﹣1 C．0 D．与m的值有关 参考答案： C 考点：利用导数研究函数的极值． 专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列． 分析：求出函数的导数，利用函数的极值点，推出a2a4026的值，然后求解lna2014的值． 解答： 解：函数f（x）=x3﹣mx2+x+1（m＜﹣1）的导数为f′（x）=x2﹣2mx+1（m＜﹣1）， 正项等比数列{an}中的a2，a4026是函数f（x）=x3﹣mx2+x+1（m＜﹣1）的极值点， 可得a2a4026=1， 则a2014=1 lna2014=ln1=0． 故选：C． 点评：本题考查等比数列以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某种饮料每箱装听，其中有听合格，听不合格，现质检人员从中随机抽取听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是         ． 参考答案： 考点：古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 12. 如图是函数 的图象，则其解析式是___. 参考答案： 13. 已知，，则的值=         。 参考答案： 略 14. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，，平面平面ABCD，则球O的表面积为____ 参考答案： 16π 【分析】 设的中点为，证明是球的球心，由此求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】设中点为，设中点为，作出图像如下图所示，由于，,平面平面,所以,平面，故.由于，，，所以，.所以，故点到的距离相等，所以为球心，且球的半径为，故表面积为. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球球心的位置的求法，考查球的表面积公式，属于中档题. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为___________． 参考答案： 2  略 16. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________． 参考答案： 由得，即，解得或．即，，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点，则有，即实数的取值范围是．不妨设，则由题意可知，所以，由得，所以，因为，所以，即存在最大值，最大值为1． 17. 给定下列结论： ①在区间内随机地抽取两数则满足概率是； ②已知直线l1：，l2：x- by + 1= 0，则的充要条件是； ③为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）。根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如下），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是70株； ④极坐标系内曲线的中心与点的距离为． 以上结论中正确的是_____________________(用序号作答)   参考答案： ①③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点在圆直径的延长线上，切圆于点， 的平分线分别交、 于点、.    （1）求的度数；    （2）若，求的值. 参考答案： 19. “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，某校研究性学习小组对全校学生按“跟从别人闯红灯”，“从不闯红灯”、“带头闯红灯”等三种形式进行调查，获得下表数据：   跟从别人闯红灯 从不闯红灯 带头闯红灯 男生 980 410 60 女生 340 150 60 用分层抽样的方法从所有被调查的人中抽取一个容量为n的样本，其中在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了66人． （Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）在所抽取的“带头闯红灯”的人中，在选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动，求这2人中至少有一人是女生的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（Ⅰ）由题意得利用分层抽样性质列出方程，能求出n的值． （Ⅱ）所有参加调查的人数为2000，从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为6，其中男生为3人，女生为3人，这2人中至少有一人是女生的对立事件是这2人都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出这2人中至少有一人是女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得， 解得n=100． （Ⅱ）∵所有参加调查的人数为980+340+410+150+60+60=2000， ∴从在“带头闯红灯”的人中用分层抽样抽取的人数为： （60+60）×=6， 其中男生为：60×=3人， 女生为60×=3人， 从抽取的“带头闯红灯”的人中选取2人参加星期天社区组织的“文明交通”宣传活动， 基本事件总数n==15， 这2人中至少有一人是女生的对立事件是这2人都是男生， ∴这2人中至少有一人是女生的概率：p=1﹣=． 20. 选修4－1：几何证明选讲 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC.     （1）求证：DP=DEDF；     （2）求证：CE·EB=EF·EP． 参考答案： 证明（1）∵DE2=EF·EC，           ∴DE : CE=EF: ED．           ∵DDEF是公共角，           ∴ΔDEF∽ΔCED． ∴DEDF=DC．           ∵CD∥AP，    ∴DC=D P．           ∴DP=DEDF．----5分     （2）∵DP=DEDF，    DDEF=DPEA，      ∴ΔDEF∽ΔPEA．∴DE : PE=EF : EA．即EF·EP=DE·EA．     ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．  10分   略 21. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）       已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=1，数列{bn}满足bn+log2an=0．   （1）求数列{an}的通项公式；   （2）求数列的前n项和Tn。 参考答案： 略 22. 全世界越来越关注环境保护问题，某市监测站点于2016年8月1日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如表： 空气质量指数（μg/m3） 0﹣50 51﹣100 101﹣150 151﹣200 201﹣250 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求n，m出的值，并完成频率分布直方图： （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数； （3）某人8月1日至8月3日在该市出差，设他遇到空气质量为优的天数为X，若把频率近似看做概率，求X的分布列及期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由频率分布直方图求出n=100，m=25，由此能完成频率分布图． （2）由频率分布图能求出平均数、中位数． （3）由题意一天中空气质量为优的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望E（X）． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图得： 0.004×50=，解得n=100， ∵20+40+m+10+5=100，∴m=25， ，， ，． 作出频率分布图如下： （2）由频率分布图得： 平均数为：25×0.004×50+75×0.008×50+225125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95， ∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为0.008×50=0.4， ∴中位数为：50+=87.5．… （3）由题意一天中空气质量为优的概率为， X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X=0）==， P（X=1）==， P（X=2）==， P（X=3）==， X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望E（